Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 7

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Cho điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) và đường thẳng \(\Delta\) qua \(A(x_1, y_1, z_1)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\):

- \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \).
- \( ABNM \) là hình bình hành.
\( \left| \left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AM}\right] \right| = S_{ABNM} = |\overrightarrow{a}| \cdot \text{MH}. \)

\( d(M, \Delta) = \frac{\left| \overrightarrow{a} , \overrightarrow{AM} \right|}{|\overrightarrow{a}|}. \)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm \(M(2, 3, 1)\) đến đường thẳng: \( \Delta: \frac{x + 2}{1} = \frac{1 - y}{-2} = \frac{z + 1}{3}. \) Coi chừng phương trình của \(\Delta\)

\(A. \sqrt{\frac{150}{7}} \quad B. \sqrt{10} \quad C. 10 \quad D. \sqrt{15}\)

Đáp án:

- Đường thẳng \(\Delta\) qua \(A(-2, 1, -1)\) có vectơ \(\overrightarrow{a} = (1, -2, 3)\).
- \(\begin{aligned} \overrightarrow{a} = (1, -2, 3) \\ \overrightarrow{AM} = (4, 2, 2) \end{aligned} \Rightarrow \left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AM}\right] = (-2, -10, -6). \)
\( |\left[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}\right]| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{140}. \)

\( d(M, \Delta) = \frac{\sqrt{4 + 100 + 36}}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{\sqrt{140}}{\sqrt{14}} = \sqrt{10} \Rightarrow \boxed{B} \)

page32

Bài tập: Cho điểm \( A(1,1,2) \) và đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x-6}{-4} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+1}{2} \). Tìm tọa độ điểm \( H \) hình chiếu của điểm \( A \) xuống đường thẳng \(\Delta\).

\(A. H(1,2,-3) \quad B. H(2,1,-3) \quad C. H(-3,1,2) \quad D. H(2,-3,1) \)

Đáp án:

\( H \) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\) qua \( A \perp \Delta \).
\((P): -4x - y + 2z + 3 = 0\).

Bấm: \(-4(6-4t) - (-2-t) + 2(-1+2t) + 3 = 0\)
(Shift → Solve(for) → 0 → =) \( t = 1 \)

Do đó: \( H(2,-3,1) \)

Cách 2: \( H(6-4t,-2-t,-1+2t) \in \Delta \), \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(\Delta \).
\( \Rightarrow \vec{AH} = (5-4t,-3-t,-2+2t) \parallel \vec{u}_\Delta = (-4,-1,2) \)

\( \Rightarrow -4(5-4t) - 1(-3-t) + 2(-2+2t) = 0 \)
\( \Rightarrow t = 1 \Rightarrow H(2,-3,1) \)

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng \( d \) qua \( A \), \( d \perp \Delta \) và \( d \) cắt \(\Delta\):

Đáp án:

+ Đường thẳng \( d \) qua \( A(1,1,2) \) và \( H(2,-3,1) \):
\( d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 4t \\ z = 2 - t \end{cases} \)

Bài tập: Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \(\Delta\):

Đáp án:

\( d(A, \Delta) = \Delta H = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \).

Bài tập: Tính tọa độ điểm \( A' \) đối xứng với \( A \) qua \(\Delta\):

Đáp án:

\( A'(3,-7,1) \).

page33

Bài tập: Xác định tọa độ điểm \( A' \) đối xứng với điểm \( A(3,2,0) \) qua đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x+1}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+2}{2} \).

\(A. A'(-1,-2,4) \quad B. A'(-5,0,4) \quad C. A'(-1,0,-4) \quad D. A'(-1,0,4) \).

Đáp án:

Cách 1: Tính tọa độ hình chiếu vuông góc với \( H \) của \( A \) xuống \(\Delta\), suy ra tọa độ \( A' \).

Cách 2: Gọi \( A'(a,b,c) \), điểm \( A'(a,b,c) \) đối xứng với \( A(3,2,0) \) qua \(\Delta\):
\( \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{A'A} = (a-3,b-2,c) \perp \vec{u}_\Delta = (1,2,2) \\ I\left(\frac{a+3}{2}, \frac{b+2}{2}, \frac{c}{2}\right) \in \Delta \end{cases}\).

\(\Leftrightarrow \begin{cases} (a-3) + 2(b-2) + 2c = 0 \\
\frac{a+3}{2} + 1 = \frac{\left(\frac{b+2}{2}+ 3\right)}{2} = \frac{\frac{c}{2}+ 2}{2} \end{cases} \).

\(\Leftrightarrow \begin{cases} a + 2b + 2c = 7 \\ 2a - b = -2 \\ 2a - c = -6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1 \\ b = 0 \\ c = 4 \end{cases} \).

\( \Leftrightarrow A'(-1,0,4) \Rightarrow \boxed{D}\).

Cách hay hơn:
+ Giao điểm \( H \) của \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\) qua \( A \perp \Delta \).
\((P): x + 2y + 2z - 7 = 0\).

\(-1 + t + 2(-3 + 2t) + 2(-2 + 2t) - 7 = 0 \Rightarrow t = 2.\)

\(\Rightarrow H(1,1,2).\)

+ \( A' \) đối xứng \( A(3,2,0) \) qua \(\Delta \Rightarrow A'(-1,0,4).\)

page34

Bài tập: Cho điểm \( A(1,-2,3) \) và đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{-1} \).Xét mặt phẳng P thay đổi luôn chứa đường thẳng \(\Delta\). Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(P\). Biết rằng khi mặt phẳng P thay đổi thì điểm \( H \) luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tọa độ tâm \( I \) của đường tròn này là:

\(A. I(2,1,-1) \quad B. I(-2,1,1) \quad C. I(2,1,1) \quad D. I(2,-1,1) \).

Đáp án:

- Gọi \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(\Delta\).
- \( H \) nằm trên đường tròn đường kính AK nằm trong mặt phẳng \(\alpha\) qua \( A \perp \Delta \).

+ Mặt phẳng \(\alpha\) qua \( A \perp \Delta \) có phương trình mp\(\alpha\): \( x-y-z = 0 \).
+ Giao điểm \( K \) của \(\Delta\) và mặt phẳng \(\alpha\):
\( 4+t - (3-2t) - (-2-t) = 0 \Rightarrow t = -1 \Rightarrow K(3,4,-1). \)

+ Tâm \( I \) là trung điểm của \( A \) và \( K \Rightarrow I(2,1,1) \Rightarrow \boxed{C} \)

page35

8. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho \(\Delta_1\) qua điểm \( A \) có VTCP \( \vec{a} \).
Cho \(\Delta_2\) qua điểm \( B \) có VTCP \( \vec{b} \).
\(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.

Nhắc lại:
\( d(\Delta_1, \Delta_2) = d(\Delta_1, (BCGF)) = d(A, \text{mp}(BCGF)) = AH. \)

\( V_{\text{hộp}} = S_{BCGF} \cdot AH = |[\vec{a}, \vec{b}] \vec{AB}| = |[\vec{a}, \vec{b}]| \cdot AH. \)

\( d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|[\vec{a}, \vec{b}] \vec{AB}|}{|[\vec{a}, \vec{b}]|}. \)

Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho tứ diện \( ABCD \) với: \( A(5,1,3) \), \( B(1,6,2) \), \( C(5,0,4) \), \( D(4,0,6) \). Tính \( d(AB, CD) \).

Đáp án:

Đường thẳng \( AB \) qua \( A(5,1,3) \) có VTCP: \( \vec{AB} = (-4, 5, -1). \)

Đường thẳng \( CD \) qua \( C(5,0,4) \) có VTCP: \( \vec{CD} = (-1, 0, 2). \)

\( d(AB, CD) = \frac{|[\vec{AB}, \vec{CD}] \cdot \vec{AC}|}{|[\vec{AB}, \vec{CD}]|}. \)

\( \begin{aligned} \left[\vec{AB}, \vec{CD}\right] = (10, 9, 5) \\ \vec{AC} = (0, -1, 1) \end{aligned} \Rightarrow [\vec{AB}, \vec{CD}] \cdot \vec{AC} = -9 + 5 = -4. \)

\( \Rightarrow d(AB, CD) = \frac{4}{\sqrt{100 + 81 + 25}} = \frac{4}{\sqrt{206}}. \)

page36