+ Bấm tích hỗn tạp của 3 vector:  
\( \vec{AB} = (-4, 5, -1), \quad \vec{CD} = (-1, 0, 2), \quad \vec{AC} = (0, -1, 1). \)

Mode → 8: Môi trường vector → Vector?  1: Vector A, 2: Vector B, 3: Vector C  

1. Nhập vector  vecA{m} \(\quad m? \quad 1: 3 \quad 2: 2 \)  
\( A(x, y, z) \rightarrow  -4, \rightarrow = \rightarrow 5 \rightarrow = \rightarrow -1 \rightarrow = \)

Shift → 5  (1: Dim, 2: Data)  

2. Nhập vector?   1: Vector A, 2: Vector B, 3: Vector C
2: vectorB(m) \( \quad m? \quad 1: 3 \quad 2: 2 \)  
1: Nhập tọa độ \(\vec{B}\)) \(  -1 \rightarrow = \rightarrow 0 \rightarrow =  \rightarrow 2 \rightarrow =\)

Shift → 5 → (2: Data)  
3. Nhập vector \( \vec{C} \):  \( 0 \rightarrow = \rightarrow -1 \rightarrow  = \rightarrow 1 \rightarrow = \)

\( \boxed{AC} \): Thoát

Shift → 5  \( \left( \begin{aligned} 
1: \text{Dim} \\ 
2: \text{Data} \\ 
3: \text{Vct A} \\ 4: \text{Vct B} \\ 
5: \text{Vct C} \\ 
6: \text{Vct Ans} \\ 
7: \text{Dot} 
\end{aligned} \right) \quad \rightarrow 3 \, (\text{ra Vct A}) \rightarrow x\)

Shift → 5 → 4 \(\, (\text{Vect A + Vect B}) \quad \Rightarrow (10, 9, 5) \, \text{(kết quả này đã lưu sẵn ở Vct Ans)}\)

Shift → 5 → 6 \(\, (\text{Vct Ans}) \quad \Rightarrow Shift → 5 → 7 \, (\text{Vct Ans})\)

Shift → 5 → 5 \(\, (\text{Vct Ans . Vct C}) \quad \Rightarrow (\text{ra} \, -4)\)

page37

Đáp án:

\( \begin{aligned} d_1  \text{ qua }  A(2, 2, 1)  \text{ có VTCP }  \vec{a} = (1, 1, -1) \\  
d_2  \text{ qua }  B(-3, 1, 4) \text{ có VTCP } \vec{b} = (2, 1, -3) \end{aligned} \Rightarrow \vec{AB} = (-5, -1, 3). \)

\( d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{AB}|}{|[\vec{a}, \vec{b}]|} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \Rightarrow \boxed{B}\)

page38

Đáp án:

\( A(2+a, 2+a, 1-a) \in d_1 \),  
\( B(-3+2b, 1+b, 4-3b) \in d_2 \).

\( \begin{cases} \vec{AB} = (2b-a-5, b-a-1, -3b+a+3) \perp \vec{u}_{d_1}=(1, 1, -1) \\  \vec{AB} = (2b-a-5, b-a-1, -3b+a+3) \perp \vec{u}_{d_2}= (2, 1, -3) \end{cases}\).  

\(\Leftrightarrow \begin{cases} 2b-a-5 + b-a-1 + 3b-a-3) = 0 \\ 2(2b-a-5) + (b-a-1) - 3(-3b+a+3) = 0 \end{cases} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} -3a + 6b = 9 \\ -6a + 14b = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1 \\ b = 1 \end{cases} \).

\( A(1, 1, 2), \, B(-1, 2, 1) \Rightarrow  \vec{AB} = (-2, 1, -1) \).

\( \Rightarrow  \Delta : \frac{x-1}{-2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1} \Rightarrow \boxed{B} \).

page39 

Đáp án:

\( d_1 \) có vector chỉ phương \( \vec{u}_1 = (1, 3, -5) \),  
\( d_2 \) có vector chỉ phương \( \vec{u}_2 = (1, -1, -1) \).

Gọi \( A(2 + t_1, 4 + 3t_1, -3 - 5t_1) \in d_1 \),  
\( B(-2 + t_2, -2 - t_2, -1 - t_2) \in d_2 \).

\( \vec{AB} = (-4 + t_2 - t_1, -6 - 3t_2 + 3t_1, 2 + t_2 + 5t_1). \)

 \( \vec{AB} \perp d_1 \Leftrightarrow \vec{AB} \perp \vec{u}_1 \):  
\( -4 + t_2 - t_1 - 18 - 3t_2 - 9t_1 - 10 + 5t_2 - 25t_1 = 0 \Leftrightarrow 32 + 3t_2 - 35t_1 = 0. \)

 \( \vec{AB} \perp d_2 \Leftrightarrow \vec{AB} \perp \vec{u}_2 \):  
\( -4 + t_2 - t_1 + 6 + t_2 + 3t_1 - 2 + t_2 - 5t_1 = 0 \Leftrightarrow 3t_2 - 3t_1 = 0. \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} 32 + 3t_2 - 35t_1 = 0 \\ 2t_2 - 3t_1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t_1 = -1 \\ t_2 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A(1, 1, 2) \\ B(-3, -1, 0) \end{cases} \) 

\( \vec{AB} = (-4, -2, -2) \parallel (2, 1, 1). \)

Một phương trình của đường thẳng \( AB \):  
\( \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1}. \)

page40

(Đề thi TNPT 2024, câu 46, mã 104)  

Đáp án:

Mặt cầu \( (S) \) có bán kính nhỏ nhất khi đường kính của \( (S) \) là đoạn vuông góc chung của \( d_1 \) và \( d_2 \).  

Theo kết quả bài trước, ta có đường vuông góc chung \( AB \) của \( d_1 \) và \( d_2 \):  
\( A(1, 1, 2) \in d_1, \, B(-3, -1, 0) \in d_2 \).

Do đó, tâm của mặt cầu \( (S) \) là trung điểm của \( AB \):  \( I(-1, 0, 1). \)

Phương trình của \( (S) \):  \( (x+1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 6. \)

Vậy chọn: \( \boxed{C}. \)

page41