Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 9

9. Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng \( \Delta_1 \) có vector chỉ phương \( \vec{a} , \Delta_2 \) có vector chỉ phương \( \vec{b} \).

\( \varphi = \text{góc } (\Delta_1, \Delta_2). \)

\( \cos \varphi = | \cos(\vec{a}, \vec{b}) | = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right|. \)

Ví dụ: Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng: \( \Delta_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+2}{2}, \quad \Delta_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{3}. \)

Đáp án:

\( \Delta_1 \text{ có vector chỉ phương } \vec{a} = (3, 1, 2), \quad \Delta_2 \text{ có vector chỉ phương } \vec{b} = (1, -2, 3). \)

\( \cos \varphi = | \cos(\vec{a}, \vec{b}) | = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right| = \left| \frac{3 -2+ 6}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \right| = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ. \)

page42

Bài tập: Tính góc giữa hai đường thẳng: \( d_1: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}, \quad d_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{1}. \)

\( A. 45^\circ \quad
B. 80^\circ \quad
C. 60^\circ \quad
D. 30^\circ \).

Đáp án:

\( \vec{u}_1 = (1, -1, 2), \quad \vec{u}_2 = (1, 1, 1). \)

\( \cos \varphi = \left| \cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2) \right| = \frac{\left| \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 \right|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{\left| -1 -1 +2 \right|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = 0 \Rightarrow \varphi = 90^\circ \Rightarrow \boxed{B} \)

page43

10. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

\( \Delta: \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}, \quad \Delta \parallel \pi. \)

Mặt phẳng: \( P: A x + B y + C z + D = 0. \)

\( \varphi = \text{góc } (\Delta, mpP), \quad \alpha = \text{góc } (\Delta, d). \)

\( \alpha + \varphi = \frac{\pi}{2}. \)

\( \sin \varphi = \cos \alpha = \left| \cos (\vec{a}, \vec{n}_P) \right| \)

(Chuyển góc tạo với đường thẳng và mặt phẳng về góc tạo giữa 2 đường thẳng.)

Ví dụ: Tính góc tạo bởi đường thẳng \( \Delta \): \( \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{3} \) và mặt phẳng \( \pi: 3x + y + 2z - 1 = 0 \).

Đáp án:

\( \Delta \parallel \vec{a} = (1, -2, 3), \quad mpP \perp \vec{n}_\pi = (3, 1, 2). \)

\( \sin \varphi = \left| \cos (\vec{a}, \vec{n}_P) \right| = \frac{\left| 3 -2 +6 \right|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ. \)

page44

11. Góc tạo bởi hai mặt phẳng
Cho mp(P) có vectơ pháp \( \vec{n_P} \)

mp(Q) có vectơ pháp \( \vec{n_Q} \)

\( \varphi = \text{góc}(mp(P), mp(Q)) \)

\( \cos \varphi = | \cos (\vec{n_P}, \vec{n_Q}) | \)

\(mp(P) \perp mp(Q) \Leftrightarrow \vec{n_P} \perp \vec{n_Q}\)

Bài tập: Góc tạo bởi hai mặt phẳng cùng qua điểm M(1, -1, -1) trong đó có mặt phẳng chứa ox và mp chứa oz là

\(A. 30^\circ \quad B. 45^\circ \quad C. 60^\circ \quad D. 90^\circ \)

Đáp án:

mp(P) qua M chứa ox có: \( \vec{n_P} = [\overrightarrow{OM} = (1, -1, -1), \vec{e_1} = (1, 0, 0)] = (0, -1, 1) \)

mp(Q) qua M chứa oz có: \( \vec{n_Q} = [\overrightarrow{OM} = (1, -1, -1), \vec{e_3} = (0, 0, 1)] = (-1, -1, 0) \)

\( \varphi = \text{góc}(mp(P), mp(Q)) \)

\( \cos \varphi = | \cos (\vec{n_P}, \vec{n_Q}) | = \left| \frac{\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|} \right| = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)

\( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \)

page45