Đáp án:

Phương trình mặt cầu có dạng: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \)

Mặt cầu \( (C) \) qua \( A, B, C, D \): 

\( \begin{cases} 
-4b + d = -4 \\ 
-2a - 2b + d = -2 \\ 
-2a - 10b - 4c + d = -30 \\ 
-8a - 4b - 8c + d = -36 
\end{cases} \quad   \Leftrightarrow  \begin{cases} d = 4b - 4\\
-2a + 2b = 2 \\ 
-2a - 6b - 4c = -26 \\ 
-8a - 8c = -32 
\end{cases} \)

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 
d = 4b - 4\\ a - b = -1 \\ 
a + 3b + 2c = 13 \\ 
c + 4 = 4 
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 
a = 1 \\ 
b = 2 \\ 
c = 3 \\ 
d = 4 
\end{cases} \)

Phương trình mặt cầu: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 4 = 0 \)

page2

Đáp án:

\( R = d(I, (P)) = \frac{|2 + 2 + 6 + 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{12}{3} = 4 \)

Chọn \( \boxed{C} \).

page3

Đáp án:

Tâm \( I \) mặt cầu thuộc mặt phẳng \( (Oyz) \) \( \Rightarrow I(0, b, c) \).

Phương trình mặt cầu \( (S) \): \( x^2 + y^2 + z^2 - 2by - 2cz + d = 0 \)

Thế tọa độ \( A, B, C \) vào phương trình, giải hệ được \( b, c, d \):  
\( \begin{cases} 
b = 7 \\ 
c = 5 \\ 
d = 48 
\end{cases} \)

 page4

(Đề thi C2017, câu 41, mã 106.)

Đáp án:

Cách 1: Bấm: Thử!

- Mode → 1  
- Nhập: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 2z - 10 \)  
  Calc: \( x = 2, y = 3, z = 3 \)  
  → Kết quả \( \neq 0 \) → Loại A.

- Nhập: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 2z - 2 \)  
  Calc: \( x = 2, y = 3, z = 3 \)  
  → Kết quả \( \neq 0 \) → Loại B.

- Nhập: \( x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 \)  
  Calc: \( x = 2, y = 3, z = 3 \)  
  → Kết quả \( = 0 \), cả 3 điểm \( M, N, D \) đều thỏa.  

\( I(2, -1, 3) \) thuộc mặt phẳng \( \alpha: 2x + 3y - z + 2 = 0 \) Chọn \( \boxed{C} \).

Cách 2:

- Mặt phẳng trung trực của \( MN \) qua \( E(2, 1, 1) \), vuông góc với \( \overrightarrow{MN} = (0, -4, -4) \):  \( y + z - 2 = 0 \)

- Mặt phẳng trung trực của \( MD \) qua \( F(0, 1, 3) \), vuông góc với \( \overrightarrow{MD} = (-4, -4, 0) \):  \( x + y - 1 = 0 \)

- Tâm \( I \) của mặt cầu:  \( \begin{cases} 
y + z = 2 \\ 
x + y = 1 \\ 
2x + 3y - z + 2 = 0 
\end{cases}  \Leftrightarrow  I(2, -1, 3) \quad (\text{IM = 4}) \) Chọn \( \boxed{C} \)

Cách 3: Thử \( I \in \alpha: 2x + 3y - z + 2 = 0 \) 

page5

(2012, B)

Đáp án:

 \( (S) \) là mặt cầu cần viết phương trình, với \( I \) là tâm của \( (S) \):  
\( I \in d \quad \Leftrightarrow \quad I(1 + 2t, t, -2t) \)

\( A, B \in (S) \):  \( IA = IB \)
\(\Leftrightarrow (2t - 1)^2 + (t - 1)^2 + 4t^2 = (2t + 3)^2 + (t - 3)^2 + (2t + 2)^2 \)
\( \Leftrightarrow t = -1 \)

Do đó: \( I(-1, -1, 2) \), và \( IA = \sqrt{17} \).  

Vậy \( (S) \):  \( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 17 \)

Cách 2:  
Tâm \( I \) của mặt cầu là giao điểm của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( AB \).  

- Mặt phẳng trung trực của đoạn \( AB \) qua trung điểm \( H(0, 2, 1) \), vuông góc với \( \overrightarrow{AB} = (-4, 2, 2) \):  
\( \text{Mp } P: 2x - y - z + 3 = 0 \)

 \( I  \begin{cases} 
\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2} \\ 
2x - y - z + 3 = 0 
\end{cases} \Leftrightarrow   I(-1, -1, 2) \Leftrightarrow (S): (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 17 \)

page6