Đáp án:

\( I \in \text{mp } P \perp \vec{AC} = (1, 2, -2) \) tại \( A(3, -1, 1) \):  
  \( \text{mp } P: x + 2y - 2z + 1 = 0 \)  

\( I \in \text{mp } Q \perp \vec{BD} = (4, 2, -4) \) tại \( B(-1, 0, -2) \):  
  \( \text{mp } Q: 2x + y - 2z - 2 = 0 \)  

\( I \in \text{mp } R \) trung trực của \( AB \):  
  \( \vec{AB} = (-4, 1, -3), \quad J(1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \quad \Rightarrow \quad \text{mp} R: 4x - y + 3z - 3 = 0 \)  
  \(I: \begin{cases} 
  x + 2y - 2z = -1 \\ 
  2x + y - 2z = -2 \\ 
  4x - y + 3z = 3 
  \end{cases} \iff \begin{cases} x =1\\ y=-2\\ z=-1 \end{cases} \iff I(1, -2, -1) \quad \Rightarrow \boxed{B} \)

page17

Đáp án:

Gọi \( I \) là tâm mặt cầu \( (S) \).  

\( I \in \Delta_1 \perp \text{mp} (I_1 AB) \) tại \( I_1 \):  
\( \begin{cases} \vec{I_1A} = (-1, 1, 3) \\ \vec{I_1B} = (-1, -3, -1) \end{cases} \implies \vec{u}_{\Delta_1} = (10, -2, 4) \parallel (5, -1, 2) \)  
\( \Delta_1: \frac{x-1}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1} \)  

\( I \in \Delta_2 \perp \text{mp} (I_2  AB) \) tại \( I_2 \):  
  \(\begin{cases} \vec{I_2A} = (-3, 1, 1) \\ \vec{I_2B} = (-1, -3, -1) \end{cases} \implies \vec{u}_{\Delta_2} = (2, -4, 10) \parallel (1, -2, 5) \)  
  \( \Delta_2: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{5} \)  

 \(  \begin{cases} 
  2x - 5y = -3 \\ 
  x - 5z = 6 \\ 
  -2x - 4z = -7 \\ 
  5x - 3z = -41 
  \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{8}{3} \\ y = \frac{5}{3} \\ z=-\frac{2}{3} \end{cases} \iff I\left(\frac{8}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right) \)  

\( R = I A  = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{49}{9} + \frac{64}{9}} = \frac{\sqrt{129}}{3} \Rightarrow \boxed{C} \)

page18

Đáp án:

Tâm \( I \) của mặt cầu là giao điểm của mặt phẳng trung trực \( AB \), \( AC \) và mặt phẳng \( ABC \):  

\( \begin{cases} \vec{AB} = (3,0,0) \\ M\left(\frac{5}{2}, 0, 0\right) \end{cases} \Rightarrow \text{mpQ: } x - \frac{5}{2} = 0 \)

\( \begin{cases} \vec{AC} = (3,3,0) \\ N\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, 0 \right) \end{cases}  \Rightarrow \text{mpQ: } x + y - 6 = 0 \)

\( \text{mpABC: } z - 3 = 0  \Rightarrow I\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, 3 \right) \)

\( R = IA = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 0} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)

\( S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \frac{18}{4} = 18\pi \Rightarrow \boxed{B}\)

Thay \( (Q) \) bởi mặt phẳng trung trực của \( BC \). \( y = \frac{7}{2} \).

page19

Đáp án:

Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(2,0,1) \):  

\( \begin{cases} \vec{u}_\Delta \perp \vec{u}_d = (1,2,3) \\ \vec{u}_\Delta \perp \vec{IA} = (-2,0,0) \end{cases} \)

\( \Rightarrow \vec{u}_\Delta = [\vec{u}_d, \vec{IA}] = (0,-6,4) \parallel (0,-3,2) \)

\( \Delta:\begin{cases}
x = 0 \\
y = -3t \\
z = 1 + 2t
\end{cases} \Rightarrow (0,-3,2) \Rightarrow \boxed{B} \)

page20

Đáp án:

​​​​​​​Đường thẳng \( d \) tiếp xúc mặt cầu \( (S) \) tại \( A \):  
\( \Rightarrow d \subset \text{mp}Q \perp {IA} \) tại \( \Delta \)  
Với \( I(1,-2,-1) \) và \( A(3,-1,1) \):  

Phương trình mặt phẳng \( Q: 2x + y + 2z - 7 = 0 \)  

\( \begin{cases}
d \subset \text{mp}Q \\
d \parallel \text{mp}P
\end{cases} \Rightarrow d \parallel \Delta = \text{mp}P \cap \text{mp}Q \)

\( \Rightarrow \overrightarrow{u}_d = \overrightarrow{u}_\Delta = \left[\overrightarrow{n}_Q, \overrightarrow{n}_D\right] = [(2,1,2),(1,1,-2)] = (4,-6,-1) 
\)

\( \Rightarrow d: \frac{x-3}{4} = \frac{y+1}{-6} = \frac{z-1}{-1} \Rightarrow (4,-6,-1) \Rightarrow \boxed{C} \)

page21