Phương trình mặt cầu - Bài tập phần 5

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình mặt cầu - Bài tập phần 5

Bài tập: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(D: x + y + z - 6 = 0\) và mặt cầu \( (S): x^2 + y^2 + z^2 = 12 \). Có bao nhiêu mặt phẳng \( Q \) song song với mặt phẳng \( P \) và tiếp xúc với mặt cầu \( (S) \)?

A. \( 0 \quad \) B. \( 1 \quad \) C. \( 2\quad \) D. Vô số

Đáp án:

\( d(O, \text{mp}D) = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \)

\(\Rightarrow\) mp \( D \) tiếp xúc với mặt cầu \( (S) \).

Vậy phải chọn \( B \).

Tổng quát! Cho mặt cầu \( (S) \) tâm \( I \), bán kính \( R \) và mp \( D \). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng \( Q \parallel D \) và tiếp xúc với mặt cầu \( (S) \)?

- Nếu \( d(I, \text{mp}D) = R \) thì chỉ có \( 1 \).
- Nếu \( d(I, \text{mp}D) \neq R \) thì có \( 2 \).

page22

❗ Trong không gian, cho mặt cầu \( (S) \) tâm \( I \), bán kính \( R \) và đường thẳng \( \Delta \). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng \( D \) chứa đường thẳng \( \Delta \) và tiếp xúc mặt cầu \( (S) \).

* Nếu \( d(I, \Delta) < R \) thì có \( 0 \).
* Nếu \( d(I, \Delta) = R \) thì có \( 1 \).
* Nếu \( d(I, \Delta) > R \) thì có \( 2 \).

page23

Bài tập: Cho điểm \( M(2,1,1) \), \( \text{mp}(\alpha): x + y + z - 4 = 0 \) và mặt cầu \( (S): x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 6y - 8z + 18 = 0 \). Đường thẳng \( \Delta \) qua \( M \) nằm trong \( \text{mp}(\alpha) \) cắt \( (S) \) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất, có một vectơ chỉ phương là:

A. \( (-1,-2,1) \quad \) B. \( (1,2,1) \)
C. \( (1,-2,-1) \quad \) D. \( (1,-2,1) \)

Đáp án:

Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(3,3,4) \): \( R = \sqrt{9 + 9 + 16 - 18} = 4. \)

(Đề ý: \( M \in \alpha \) và \( M \) nằm trong mặt cầu \( (S) \))

Gọi \( J \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) xuống \( \text{mp}(\alpha) \):
\( J: \begin{cases}
x = 3 + t \\
y = 3 + t \\
z = 4 + t \\
x + y + z - 4 = 0
\end{cases} \Leftrightarrow J(1,1,2).\)

- Đường thẳng \( \Delta \) qua \( M \), \( \Delta \subset \text{mp} \alpha \), cắt \( (S) \) tại \( A, B \). Gọi \( H \) là trung điểm \( AB \).

\( AB = 2 HA = 2 \sqrt{IA^2 - JH^2} =2\sqrt{r^2-JH^2}\) nhỏ nhất

(r là bán kính đường tròn giao tuyến của \((S)\) và mp\((\alpha)\))

\(\iff\) Với độ dài lớn nhất \( \Leftrightarrow JH = IM \iff H \equiv M \).

\( \Rightarrow \begin{cases} \Delta \bot \vec{JM} = (1,0,-1) \\ \Delta \bot \vec{n}_\alpha = (1,1,1) \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u}_\Delta = [\overrightarrow{JM}, \overrightarrow{n}_\alpha] = (1,-2,1). \)

Đáp án: \( D. (1,-2,1) \).

page24

Bài tập: Cho mặt cầu \( (S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16 \) và 2 điểm \( A(1,0,2) \), \( B(-1,2,2) \). Gọi \( P \) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \( A, B \) o cho thiết diện của mặt phẳng \( P \) và mặt cầu \( (S) \) có diện tích nhỏ nhất. Biểu thức phương trình mặt phẳng \( \text{D} \) có dạng \( ax + by + cz + 3 = 0 \). Tính tổng \( T = a + b + c \).

A. \( 3 \quad \) B. \(-3 \quad \) C. \( 0 \ \) D. \(-2\)

Đáp án:

- Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1,2,3) \), \( R = 4 \).
(Đề ý: \( A, B \) nằm trong mặt cầu \( (S) \))

- Hình tròn có bán kính \( r \), có diện tích:
\( S = \pi r^2 \text{ nhỏ nhất } \Leftrightarrow r = \sqrt{R^2 - d^2}\) nhỏ nhất: \( d = d(I, \text{mp}D) \Leftrightarrow d \text{ lớn nhất.} \)

- Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( I(1,2,3) \) xuống đường thẳng \( AB \):
\( H:\begin{cases}
x - y + 1 = 0 \\
x = 1 + 2t \\
y = -2t \\
z = 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0\\y=1\\y=2 \end{cases} \Leftrightarrow H(0,1,2).\)

- \( d \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \text{mp}P \perp \overrightarrow{IH} = (-1,-1,-1) \), tại \( H(0,1,2) \):
\( \text{mp}P: x + y + z - 3 = 0 \leftrightarrow -x -y -z +3 =0. \)
\( T = -3 \quad \boxed{B}. \)

page25

Bài tập: Cho đường thẳng \( d: \frac{x-y}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1} \) và mặt phẳng \( P: 2x + y - 2z + 2 = 0 \).
Viết phương trình mặt cầu \( (S) \) có tâm nằm trên đường thẳng \( d \), tiếp xúc với mặt phẳng \( P \), qua điểm \( A(1,-1,1) \) và có bán kính nhỏ nhất.

Đáp án:

Dự đoán có 2 mặt cầu thỏa đề bài \( \Rightarrow \) chọn mặt cầu có \( R \) nhỏ nhất.

- \( I \in d \Leftrightarrow I(4+3t, t, 1+t) \)

- \( d(I, (P)) = IA \):
\( \Leftrightarrow \frac{|8+6t + t - 2 - 2t + 2|}{3} = \sqrt{(3+3t)^2 + t^2 + (1+t)^2}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{15t + 81}{3} = \sqrt{11t^2 + 20t + 10}.\)

\( \Leftrightarrow 25t^2 + 80t + 64 = 99t^2 + 180t + 90.\)

\( \Leftrightarrow 74t^2 + 100t + 26 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = -1 \\ t =-\frac{26}{74}= -\frac{13}{37} \end{cases}.\)

\( t = -1 \Rightarrow R = d(I, (P)) = 1.\)

\( t = -\frac{13}{37} \Rightarrow R = \frac{\left|8 -\frac{65}{37}\right|}{3} = \frac{77}{37}.\)

Chọn \( t = -1 \Rightarrow I(1, -1, 0), \, R = 1.\)

\( (S): (x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 1.\)

page26