Đáp án:

Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 1) \), \( R = \sqrt{2} \).  

- Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) lên \( d \). \( H(2 + t, - t, 4t) \in d \). \( \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{u}_d = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow H(2, 0, 0) \).  

- \( IH = \sqrt{6} \), \( IM = R = \sqrt{2} \Rightarrow HM = 2 \).  

\( MK = \frac{MH \cdot MI}{IH} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \),  
\( \Rightarrow MN = 2MK = \frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{B}. \)

page27

Đáp án:

\( OM = \sqrt{6} < \sqrt{8} = R \Rightarrow M \) nằm trong mặt cầu \( (S) \).  

Hạ \( OH \perp  AB \), đặt \( OH = x \Rightarrow 0 < x \leq \sqrt{6} \).  

 \( HA = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{8 - x^2} \Rightarrow AB = 2\sqrt{8 - x^2} \).  

\( S_{\Delta AB} = \frac{1}{2} AB \cdot CH = x\sqrt{8 - x^2} \).

 Nếu thay \( M(1, 1, 2) \) bởi \( M(1, 1, 1) \), thì sao?

Khi đó: \( OM = \sqrt{3} \) và \( x = 2 \notin (0, \sqrt{3}) \). Bây giờ phải khảo sát hàm số \( f(x) = x\sqrt{8 - x^2} \) với \( 0 < x \leq \sqrt{3} \).  

- \( f'(x) = \frac{8 - 2x^2}{\sqrt{8 - x^2}} = 0 \Rightarrow x = 2 \, (x > 0) \).  

 - \( \max S = f(\sqrt{3}) = \sqrt{15} \Rightarrow \boxed{A} \).  

Rút ra: Nếu \( OM \geqslant \frac{R\sqrt{2}}{2} \), thì \( \text{Max} S = \frac{1}{2}R^2 \).  
 Nếu \( OM < \frac{R\sqrt{2}}{2} \), thì \( \text{Max} S = OM\sqrt{R^2 - OM^2} \).  

page28

Đáp án:

- Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 3) \), bán kính \( R = 5 \).  
- \( M(4, 6, 3) \in (S) \).  

Xem hình lập phương chữ nhật bên dưới:

(Vì hình chiếu vuông góc của \( I \) xuống mặt phẳng \( ( ABM) \) là trung điểm của \( AB \), tương tự với mặt phẳng \( (MAC) \) và \( (MCB) \))  
 

\(\Rightarrow I \) là tâm của hình hộp chữ nhật có các đỉnh \( M, A, B, C \).  
- Mặt phẳng \( (ABC) \) cắt \( IM \) tại \( H \), là trọng tâm của  \( \Delta ABC \).  

\( \overrightarrow{MH} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MI} \).  
\( \Rightarrow \begin{cases} 
x_H = \frac{x_M + 2x_I}{3} = 2 \\ 
y_H = \frac{y_M + 2y_I}{3} = \frac{10}{3} \\ 
z_H = \frac{z_M + 2z_I}{3} = 3 
\end{cases} \)
\( \Rightarrow  a + 3b + c =  15 \Rightarrow \boxed{D}\).  

page29

Đáp án:

Mặt cầu \( S(I, R) \) cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính: \( r = \sqrt{R^2 - d^2}, \, d = d(I, \text{mp}) \).  

- Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, -2, 1) \), bán kính \( R = 3 \).  
- \( d(I, \text{mp}) = 1 \).  

Mặt phẳng \( Oxy\) cắt (S) theo hình trong có diện tích: \( \pi r_1^2 = \pi (3^2 - 1^2) = 8\pi \).  

Tổng diện tích của 3 hình tròn là:  
\( \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_3^2 = \pi \left( 3^2 - 1^2 + 3^2 - 1^2 + 3^2 - 2^2 \right) = 21\pi \Rightarrow \boxed{C}\).

page30 

Đáp án:

​​​​​​​- Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(-1, 1, 2) \), bán kính \( R = 3 \).  
- Điểm \( A(-1, 1, 3) \) nằm trên mặt cầu \( (S) \).  

Gọi 3 mặt phẳng qua \( A \), đôi một vuông góc lần lượt là:\((\alpha)\), \((\beta)\), \((\gamma)\)
Đặt \( d_1 = d(I, (\alpha)), \, d_2 = d(I, (\beta)), \, d_3 = d(I, (\gamma)) \).  

Tổng diện tích của 3 hình tròn là:  
\( \pi \left[ 3R^2 - \left(d_1^2 + d_2^2 + d_3^2\right) \right] = \pi \left[ 3R^2 - IA^2 \right] \).  

 \(= \pi (27 - 1) = 26\pi \Rightarrow \boxed {C}\)

page31