Đáp án:

\(M(x_0, y_0, z_0) \in (S), \forall m \in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 2 + m(2x_0 - 2y_0 - z_0 + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2y_0 - 2 = 0 \\ 2x_0 - 2y_0 - z_0 + 1 = 0 \end{cases}\)  

\(\Leftrightarrow M\) thuộc giao tuyến của mặt cầu \((S_1): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2 = 0\) có tâm \(I(0, -1, 0),\) bán kính \(R = \sqrt{3}\), với mặt phẳng \(P: 2x - 2y - z + 1 = 0\).  
Ta có \(d(I, mpP) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{2} \Rightarrow \boxed{B}\).  

page37

Đáp án:

Tìm điểm \( I(x_0, y_0, z_0) \). Khi đó mặt phẳng \( 2x_0 - 3y_0 + z_0 = 0 \) và  

\( d(I, (P)) = \frac{|(1 - m^2)x_0 + 2my_0 + 2(1 + m^2)z_0 + 5m^2 + 4m + 12|}{\sqrt{(1 - m^2)^2 + 4m^2 + 4(1 + m^2)^2}} = R, \quad \forall m \in \mathbb{R}. \)

\( = \frac{|m^2(-x_0 + 2z_0 + 5) + m(2y_0 + 4) + x_0 + 2z_0 + 12|}{\sqrt{5m^4 + 10m^2 + 5}} = R, \quad \forall m \in \mathbb{R}. \)

\( = \frac{|(-x_0 + 2z_0 + 5)m^2 + (2y_0 + 4)m + x_0 + 2z_0 + 12|}{\sqrt{5(m^2 + 1)}} = R, \quad \forall m \in \mathbb{R}. \)

\( \Rightarrow 
\begin{cases}
2y_0 + 4 = 0 \\
-x_0 + 2z_0 + 5 = x_0 + 2z_0 + 12
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y_0 = -2\\ x_0 = -\frac{7}{2} \end{cases} \)

\( \Rightarrow z_0 = -2x_0 + 3y_0 = 7 - 6 = 1 \Rightarrow I\left(-\frac{7}{2}, -2, 1\right). \)

\( \Rightarrow R = \frac{21\sqrt{5}}{10} \Rightarrow \boxed{A} \)

page37b

Đáp án:

Mặt cầu (S) có tâm \(I(1, -1, 2)\) và \(R = 2\).  
Gọi \(B\) là điểm đối xứng với \(A(1, -1, 4)\) qua \(I\):  \(\Rightarrow B(1, -1, 0) \Rightarrow AB = 4. \)  
Gọi \(H\) là điểm trên tia \(AB\) sao cho \(AH = 5\) (\(H\) cố định).  
  \( \vec{AN} \cdot \vec{AM}=20 \Rightarrow HBMN \) nằm trên 1 đường tròn.  
Vì \( \angle BMA = 90^\circ \Rightarrow \angle NMB = 90^\circ \Rightarrow HN \perp AH. \)  
\( \Rightarrow N \) nằm trong mặt phẳng \(P\) vuông góc với \(AH\) tại \(H\).  

Suy ra:  \( Min MN = BH = 1 \Rightarrow \boxed{C} \)

page38

Đáp án:

Đường thẳng ∆ đi qua \(B(1, -1, 2)\),  \(\vec{u}_\Delta = (2, 1, -2), \vec{AB} = (-6, 3, 0). \)  
\( d(A, \Delta) = \frac{|\vec{u}_\Delta , (\vec{AB})|}{|\vec{u}_\Delta|} = \frac{|6, 2 ,12 |}{\sqrt{2 , 1 , -2}} = \frac{18}{3} = 6. \)

Gọi \(K\) là điểm trên tia \(AH\) sao cho \(AK = 2\) (\(K\) cố định).  
 \( \vec{AN} \cdot \vec{AM} = 12 \implies \vec{AK} \cdot \vec{AH} \implies KHMN\) nằm trên đường tròn  

Vì \( \angle KHM = 90^\circ \Rightarrow \angle KNM = 90^\circ \Rightarrow \angle ANK = 90^\circ\):  
 \( \Rightarrow N \) nằm trên đường tròn đường kính AK.  

Do đó \(MN\) nhỏ nhất:  \(\Leftrightarrow MN = HK = 4 \Rightarrow \boxed{B}\)

page39

Đáp án:

\( (S)\) là mặt cầu có bán kính \(R = 1\):  \(m\) thỏa yêu cầu
\( \Rightarrow r^2 =  4 + m^2 + (m+1)^2 - (m^2 + 2m + 8) = 1. \)

\( \Leftrightarrow 4 + m^2 + m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2m - 8 = 1. \)

\( \Leftrightarrow m^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2. \)

- Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2, -m, m+1)\), bán kính \(R = \sqrt{m^2 - 3}\).

\( d = d(I, \text{mp}P): \)  
\( r = \sqrt{R^2 - d^2} = 1 \Leftrightarrow d^2 = R^2 - 1 = m^2 - 4. \)

\( \vec{AB} = (2, 6, -2), \quad \vec{AI} = (-1, -m-1, m-1). \)

\( m \) thỏa yêu cầu khi:  
\( d = d(I, AB) = \sqrt{m^2 - 4}. \)

\(\Leftrightarrow \frac{|[\vec{AB}, \vec{AI}]|}{|\vec{AB}|} = \sqrt{m^2 - 4} \Leftrightarrow 11m^2 + 24m - 96 = 0. \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} m = -2 \quad \\ m = \frac{-46}{11} \end{cases} \) Thỏa mãn điều kiện: \( m^2 - 3 > 0. \)

Vậy \( \begin{cases} m = \pm 2 \\ m = \frac{-46}{11} \end{cases} \quad \Rightarrow \boxed{C}. \)

page40

Đáp án:

​​​​​​​Tìm điểm \(I(x_0, y_0, z_0)\) sao cho:  
\( d(I, (P)) = \frac{|3mx_0 + 5\sqrt{1 - m^2}y_0 + 4mz_0 + 20|}{\sqrt{9m^2 + 25(1 - m^2) + 16m^2}} = R \text{không đổi}, \quad \forall m \in \mathbb{R} . \)

\( = \frac{|3mx_0 + 5\sqrt{1 - m^2}y_0 + 4mz_0 + 20|}{5} = R. \)

\(I(0, 0, 0) \Rightarrow R = 4\).  

*Mặt phẳng \(P\) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, có phương trình:  
\( \begin{cases} y_0 = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}, R = 4 \Rightarrow \boxed{D}\).

page41