Phương trình mặt cầu - Bài tập phần 9

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình mặt cầu - Bài tập phần 9

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm \(A(4, 6, 2)\), \(B(2, -2, 0)\) và mặt phẳng \(P: x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(P\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính \(R\) của đường tròn đó.

A. \(R = 1 \quad\) B. \(R = \sqrt{6} \quad\) C. \(R = \sqrt{3} \quad \) D. \(R = 2\)

Đáp án:

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A(4, 6, 2)\) xuống mặt phẳng \(P\):

\( (4 + t) + (6 + t) + (2 + t) = 0 \Leftrightarrow t = -4 \Leftrightarrow K(0, 2, -2). \)

- \(H\) nằm trên đường tròn cố định.

\( BK = \sqrt{4 + 16 + 4} = 2\sqrt{6} \Rightarrow R = \sqrt{6} \Rightarrow \boxed{B}\)

page42

Bài tập: Cho 2 đường thẳng:
\( d_1: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = t \end{cases}, \quad d_2: \begin{cases} x = 2 \\ y = m \\ z = 1 + m \end{cases}, \quad \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}.\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với \(d_1, d_2\).

A. \((x - 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 1\)
B. \((x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}\)
C. \((x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2}\)
D. \((x - \frac{5}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 + (z - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}\).

Đáp án:

Nhắc: Đường thẳng \(\Delta\) qua điểm \(A\) có vector chỉ phương \(\vec{u}_\Delta\):
\( d(M, \Delta) = \frac{|[\vec{AM}, \vec{u}_\Delta]|}{|\vec{u}_\Delta|}. \)

\(d_1\) qua \(M_1(1, 1, 0)\), có \(\vec{u}_{d_1} = (0, 0, 1)\).
\(d_2\) qua \(M_2(2, 0, 1)\), có \(\vec{u}_{d_2} = (0, 1, 1)\).
\(I \in \Delta \Leftrightarrow I = (1 + t, t, 1 + t). \)

\( \vec{IM}_1 = ( - t, 1- t, -1 -t), \quad \vec{IM}_2 = (-1- t,- t, -t) \)

\( d(I, d_1) = d(I, d_2)\)

\(\Leftrightarrow \frac{|[\vec{IM}_1, \vec{u}_{d_1}]|}{|\vec{u}_{d_1}|} = \frac{|[\vec{IM}_2, \vec{u}_{d_2}]|}{|\vec{u}_{d_2}|} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{(1 - t)^2 + t^2}}{1} = \frac{\sqrt{2(1 - t)^2 + t^2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow t = 0. \)

\(\Leftrightarrow t=0 \Rightarrow I(1, 0, 1), \quad R = d(I, d_1) = 1 \Rightarrow \boxed{A}. \)

page43

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4}\). Mặt cầu \((S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 2\). Hai mặt phẳng \((P), (Q)\) chứa \(\Delta\) và tiếp xúc \((S)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính độ dài đoạn \(MN\).

A. \(2\sqrt{2} \quad \) B. \(\frac{4\sqrt{3}}{3} \quad\) C. \(\sqrt{6} \quad \) D. \(4\)

Đáp án:

- Mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1, 2, 1)\), bán kính \(R = \sqrt{2}\).
- Đường thẳng \(\Delta\) qua \(A(2, 0, 0)\), \(\vec{u}_\Delta = (2, -1, 4), \vec{IA} = (1, -2, -1)\).

\( IH = d(I, \Delta) = \frac{|[\vec{u}_\Delta, \vec{IA}]|}{|\vec{u}_\Delta|} = \frac{|(9, 6, -3)|}{|(2 , -1 ,4)|} = \frac{\sqrt{126}}{\sqrt{21}} = \sqrt{6}. \)

\( HM = \sqrt{IH^2 - R^2} = \sqrt{6 - 2} = 2. \)

\( MK = \frac{MH \cdot MI}{HI} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. \)

\( MN = 2 \cdot MK = \frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{B} \)

page44

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \( (S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 4 \). Xét đường thẳng \( d \): \( \begin{cases} x = 1 + k \\ y = -mt \\ z = (m - 1) t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}, \, m \text{ là tham số}. \) Hai mặt phẳng \( (P_1) \), \( (P_2) \) là hai mặt phẳng chứa \( d \) và tiếp xúc với \( (S) \) tại \( T, T' \). Khi \( m \) thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài \( TT' \).

A. \( \frac{4\sqrt{13}}{5} \quad\) B. \( 2\sqrt{2} \quad\) C. \( 2 \quad\) D. \( \frac{2\sqrt{11}}{3} \)

Đáp án:

 Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 3) \), bán kính \( R = 2 \).
- Đường thẳng \( d \) luôn qua \( \Delta(1, 0, 0) \), \( \forall m \in \mathbb{R} \).

Hạ \(IH \perp d\), đặt \(IH = a\), Hạ \(TK \perp IH\).
\( TT' = 2TK = 2 \cdot \frac{TH \cdot TI}{HI} = 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 - R^2} \cdot R}{a} = 4 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{a^2}}. \)

\(\vec{u}_d = (1, -m, m - 1)\),
\( \vec{AI} = (0, 2, 3), \Rightarrow [\vec{u}_d, \vec{AI}] = (-5m + 2, -3, 2). \)

\(a = d(I, d) = \frac{|[\vec{u}_d, \vec{AI}]|}{|\vec{u}_d|} = \frac{\sqrt{25m^2 - 20m + 17}}{\sqrt{2m^2 - 2m + 2}}. \)

Đặt \(k = \frac{25m^2 - 20m + 17}{2m^2 - 2m + 2}\). Tìm \(k\) sao cho phương trình này có nghiệm:

\( \Leftrightarrow (25 - 2k)m^2 + (2k - 20)m + 17 - 2k = 0\) có nghiệm

\(\begin{cases} k = \frac{25}{2} \\ \Delta = -3k^2 + 64k - 325 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \frac{25}{3} \leq k \leq 13. \)

\( \Rightarrow \frac{5\sqrt{3}}{3} \leq a \leq \sqrt{13}. \)

\( f(a) = 4\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} \, \text{nhỏ nhất}. \)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{a^2} \, \text{nhỏ nhất} \Leftrightarrow \frac{4}{a^2} \, \text{lớn nhất}. \)

\( \Leftrightarrow a^2 \, \text{nhỏ nhất} \Leftrightarrow a \, \text{nhỏ nhất} \, (a \geq 0). \)

\( \Rightarrow a = \frac{5\sqrt{3}}{3}. \)

Khi đó: \( Minf(a) = 4\sqrt{1 - \frac{4}{\frac{25}{3}}} = 4\sqrt{1 - \frac{12}{25}} = \frac{4\sqrt{13}}{5} \Rightarrow \boxed{A}. \)

page45&46