Mặt cầu
- Phương trình mặt cầu tâm \( I(a, b, c) \), bán kính \( R \): \( (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \)
- Phương trình: \( x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \) là phương trình mặt cầu tâm \( I(a, b, c) \), bán kính \( R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} \) với điều kiện: \( a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \)
- Mặt cầu \( S(I, R) \) tiếp xúc mặt phẳng \( P \) khi và chỉ khi: \( d(I, P) = R \)
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với \( A(2, 2, 4) \), \( B(0, -4, 2) \).
Mặt cầu đường kính AB có tâm \( I(1, -1, 3) \) (trung điểm của AB) và bán kính \( R = \frac{\overline{AB}}{2} = \sqrt{11} \).
Phương trình mặt cầu: \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 11 \)
page1