3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  

Ví dụ:  Mặt phẳng \((P)\) qua 3 điểm \(A(2, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\), \(C(0, 0, 5)\) có phương trình:  
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow15x + 10y + 6z - 30 = 0 \).

page8

Đáp án:

\(A(a, 0, 0)\), \(B(0, b, 0)\), \(C(0, 0, c)\).  

\(\Rightarrow G\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right) \Rightarrow a = -3, b = -9, c = 6\).  

- Phương trình mặt phẳng:  \( \frac{x}{-3} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow -6x - 2y + 3z = 18 \Rightarrow \boxed{D}  \)

page9

Đáp án:

- Phương trình mặt phẳng \((P)\):  \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{2} = 1\).  

- Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(N(1, 1, 1)\):  \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{2} = 1\).  

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad a + b = \frac{ab}{2} \Rightarrow \boxed{C}\)

page10

Đáp án:

- Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):  \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).  

\(\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\frac{1}{2}}{a} + \frac{-1}{b} + \frac{\frac{3}{2}}{c} = 1\).  

\(\Rightarrow I\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right) \in \text{mp}(ABC) \Rightarrow \boxed{B}\). 

- Mặt phẳng \((P) \perp \overrightarrow{OI}\), với \(I\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right)\), song song với \((1, -2, 3)\) tại \(I\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2}\right)\).  

Phương trình mặt phẳng \((P)\): \(x - 2y + 3z - 7 = 0\).

page11

Đáp án:

​​​​​​​ \( \begin{cases} \overrightarrow{AB} = (-2, -2, 1) \\ \overrightarrow{AC} = (1, -1, 2) \end{cases}\)

- Vector pháp tuyến:  \(\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (-3, 5, 4)\).  

- Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):  \(-3x + 5y + 4z - 11 = 0\).  

Cách 2: Dùng máy tính, xem trang sau.

page12