* Viết nhanh phương trình của mặt phẳng qua 3 điểm có tọa độ cho trước bằng máy tính:

Đáp án:

Bước thực hiện trên máy tính:  
- Vào: Mode → 5 → 2 (Hệ 3 phương trình với 3 ẩn).  

- Nhập:  \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
1 & = & 2 & = & 1 & = & D=1 & = \\
-1 & = & 0 & = & 2 & = & D=1 & = \\
2 & = & 1 & = & 3 & = & D=1 & = \\
\end{array}\)

- Kết quả ra:  \(x = \frac{-3}{11}, \quad y = \frac{5}{11}, \quad z = \frac{4}{11}\)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):  
\(-3x + 5y + 4z = 11\)  
\(-3x + 5y + 4z - 11 = 0\).

Đáp án:

- Kết quả: \(x = -\frac{1}{5}, \quad y = \frac{1}{5}, \quad z = \frac{2}{5}\).  

- Phương trình mặt phẳng \((ABC)\):

\(-x + y + 2z = 5\).  

\(-x + y + 2z - 5 = 0\).  

Gọi 1 học sinh cho tọa độ của 3 điểm: Cả lớp làm

page13

Đáp án:

Bấm như trên, máy hiện: Math ERROR. Nghĩa là mặt phẳng \((ABC)\) qua gốc tọa độ \(O\), \(D = 0\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \(ax + by + cz = 0\).

\(A(2, 0, -1) \Rightarrow 2a - c = 0 \Rightarrow c = 2a\).  

\(B(1, 1, 1) \Rightarrow a + b + c = 0 \Rightarrow b = -3a\).  

(Chỉ cần thay tọa độ 2 điểm)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \(ax - 3ay + 2az = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 2z = 0\).  

Cách 2: Dùng máy tính  
- Vào: Mode → 5 → 1 (Hệ 2 ẩn).  
- Cho \(c = 1\): \(ax + by = -z\).  

- Nhập: \((x, y, z) = (2, 0, -1) \) (để ý: \(-z =1\)),  \(\quad (x, y, z) = (1, 1, 1)\) (để ý: \(-z =-1\)).  

Kết quả ra: \(x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{3}{2}\).  

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \(\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}y = -z \Leftrightarrow x - 3y + 2z = 0\).  

Đáp án:

Mặt phẳng \((ABC)\) qua \(O\): \(ax + by = -z\) .Thay tọa độ của \(A\) và \(B\) (không cần \(C\), chỉ dùng 2 điểm).

Kết quả: \(x = \frac{2}{3}, \, y = -\frac{1}{3}\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \(\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y = -z \Leftrightarrow 2x - y + 3z = 0\).

page14

Đáp án:

Mặt phẳng \( D \) qua \( B(2, 0, 0), C(0, 3, 0), D(0, 0, 4) \):  
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0 \Rightarrow \boxed{C}\)

Đáp án:

Mặt phẳng \( Q \) qua \( E(2, 3, 0), F(2, 0, 4), G(0, 3, 4) \).  
Bấm: mp\(Q : 6x + 4y + 3z - 24 = 0 \Rightarrow \boxed{C} \).

page15

Đáp án:

- \(CH \perp AB \Rightarrow C \in\) mp\(P\) qua  \(H(0, 3, 2), \perp \overrightarrow{AB} = (1, 2, -1)\).  
\(\Rightarrow \text{mp } Q: x + 2y - z - 4 = 0\).  

- \(AC \perp BH \Rightarrow C \in\) mp\(Q\) qua \( A(1, 1, 1), \perp \overrightarrow{BH} = (-2, 0, 2)\).  
\(\Rightarrow \text{mp } Q: -x + z = 0\).  

- \(C \in \text{mp } (\Delta ): x+z-2=0\) 
\(
\begin{cases}
x + 2y - z = 4 \\  
-x + z = 0  \\ x+z =2
\end{cases}  
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
x = 1 \\  
y = 2 \\  
z = 1  
\end{cases}  
\)

Vậy: \(C(1, 2, 1) \Rightarrow \boxed{C} \).  

Bài tập:  Cho \(\Delta ABC\) với \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 3, 0)\), \(C(1, 2, 1)\). Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của \(\Delta ABC\).  

page16

Đáp án:

- \( \begin{cases} mpP \parallel \overrightarrow{j} = (0, 1, 0) \\ mpP \parallel \overrightarrow{n_Q} = (2, -1, 3) \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n_P} = [\overrightarrow{j}, \overrightarrow{n_Q}] = (3, 0, -2)\).  
\(\Rightarrow \text{mp} P: 3x - 2z - 2 = 0 \Rightarrow \boxed{A}\).

page17