Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 4

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 4

Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng \(P\) qua 2 điểm \(A(3, 1, -1)\), \(B(2, -1, 4)\), và vuông góc với mặt phẳng \(Q: 2x - y + 3z + 1 = 0\):

A. \(x - 13y - 5z + 5 = 0 \quad \) B. \(x - 13y - 5z + 5 = 0\)
C. \(x + 13y - 5z - 21 = 0 \quad \) D. \(x + 13y - 5z + 31 = 0\)

Bài tập:

+ \(mpP \perp mpQ \Rightarrow \overrightarrow{n_Q} = (2, -1, 3) \parallel mpP\), \( \quad \overrightarrow{AB} = (-1, -2, 5) \subset mpP \).
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_P} = [\overrightarrow{n_Q}, \overrightarrow{AB}] = (1, -13, -5)\).
+ Mặt phẳng \(P\) qua \(A(3, 1, -1)\), \(\overrightarrow{n_P} = (1, -13, -5)\):
\(\Rightarrow mpP: x - 13y - 5z + 5 = 0\Rightarrow \boxed{A}\).

page18

Bài tập: Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(M(3, 1, -1)\), \(N(2, -1, 4)\). Mặt phẳng qua 2 điểm \(M, N\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): 2x - y + 3z - 1 = 0\) có phương trình là:

A. \(2x - 11y - 5z = 0 \quad \) B. \(x - 13y - 5z + 5 = 0\)
C. \(x - 13y - 5z - 5 = 0 \quad \) D. \(x + 2y + z - 4 = 0\)

(Đề thi TNPT 2024 câu 36 Mã 102)

page19

Bài tập: Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A(2, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\), \(C(0, 0, 3)\), \(D(1, -1, 2)\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) xuống mặt phẳng \((ABC)\). Viết phương trình mặt phẳng \((ADH)\):

A. \(6x + 2y - z - 12 = 0 \quad \) B. \(6x + 8y - z + 4 = 0\)
C. \(3x + 2y + 2z - 6 = 0 \quad \) D. \(6x - 8y - z - 12 = 0\)

Bài tập:

+ Mặt phẳng \((ADH)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1\Leftrightarrow 3x + 2y + 2z - 6 = 0. \)

+ \( \vec{n}_{(ABC)} = (3, 2, 2) \parallel mp(ADH) \)

+ \(\overrightarrow{AD} = (-1, -1, 2) \subset (ADH)\).

\(\Rightarrow \vec{n}_{(ADH)} = [\vec{n}_{(ABC)}, \overrightarrow{AD}] = (6, -8, -1). \)

\(\Rightarrow\) Phương trình mặt phẳng \((ADH)\): \( 6x - 8y - z - 12 = 0 \Rightarrow \boxed{D}\)

Cách 2: Hay hơn!

- \(\overrightarrow{HD} \perp \text{mp}(ABC)\) : \(3x + 2y + 2z - 6 = 0\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{HD} \parallel \vec{n}_{(ABC)} = (3, 2, 2). \)
\( \Rightarrow \vec{n}_{(ADH)} = [\vec{n}_{(ABC)}, \overrightarrow{AD}] = (6, -8, -1). \)

page20

Bài tập: Cho mp(P): \(x - y + z - 7 = 0\), mp(Q): \(3x + 2y - 12z + 5 = 0\). Viết phương trình mp(R) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mp(P) và mp(Q).

A. \(x + 2y + 3z = 0 \quad \) B. \(x + 3y + 2z = 0\)
C. \(2x + 3y + z = 0 \quad \) D. \(3x + 2y + z = 0\)

Bài tập:

mp(R) \(\perp\) mp(P): \( \vec{n}_P = (1, -1, 1) \parallel \text{mp}(R). \)
mp(R) \(\perp\) mp(Q): \( \vec{n}_Q = (3, 2, -12) \parallel \text{mp}(R). \)

\( \vec{n}_R = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (10, 15, 5) \parallel (2, 3, 1). \)

\( \Rightarrow\) Phương trình mp(R): \( 2x + 3y + z = 0 \Rightarrow \boxed{C}\)

page21

Bài tập: Cho mp\(P\): \(x - 2y - 3z + 14 = 0\) và \(M(1, -1, 1)\). Tọa độ của điểm \(N\) đối xứng \(M\) qua mp \(D\) là:

A. \((1, -3, 7) \quad \) B. \((2, -1, 1) \quad \) C. \((2, -3, -2) \quad \) D. \((-1, 3, 7)\)

Bài tập:

\(N(a, b, c)\)
\( \begin{cases} \overrightarrow{MN} = (a - 1, b + 1, c - 1) \parallel \vec{n}_P = (1, -2, -3) \\ I \left(\frac{a + 1}{2}, \frac{b - 1}{2}, \frac{c + 1}{2}\right) \in \text{mp}P: x - 2y - 3z + 14 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{a-1}{1}= \frac{b+1}{-2} = \frac{c-1}{-3} \\ \frac{a + 1}{2} - 2\left(\frac{b - 1}{2}\right) - 3\left(\frac{c + 1}{2}\right) + 14 = 0 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}
-2a - b = -1, \\
-3a - c = -4, \\
\frac{a}{2} - b - \frac{3c}{2} = -14.
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1\\ b = 3 \\ c = 7 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow N(-1, 3, 7) \Rightarrow \boxed{D}\).

Cách 2: Thử

page22