Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 5

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 5

Bài tập: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1; 2; -2)\), Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa trục \(Ox\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \((P)\) lớn nhất. Phương trình của \(()\) là:

A. \(2y + z = 0 \quad \) B. \(2y - z = 0 \quad \) C. \(y + z = 0 \quad \) D. \(y - z = 0\)

(Đề Thi TNPT 2022 câu 42 Mã 104)

Đáp án:

Gọi \( H, K \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \((P)\) và trục \(Ox\).
Ta có \( d(A, (P)) = AH \leq AK \).
Do đó khoảng cách từ \( A \) đến \((P)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv K \).
Hay mp\((P)\) nhận \(\overrightarrow{AK}\) làm vectơ pháp tuyến.
- \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A(1; 2; -2) \) lên \(Ox\): \( \Rightarrow K(1; 0; 0) \).

- \(\overrightarrow{AK} = (0; -2; 2)\).

- Mặt phẳng \((P)\) qua \( K(1; 0; 0) \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{AK} = (0; -2; 2)\), có phương trình:

\(-2(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y - z = 0 \Rightarrow \boxed{D} \).

page23

Bài tập: Trong không gian \( Oxyz \), cho điểm \( A(2; 1; 1) \). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa trục \( Oy \) sao cho khoảng cách từ \( A \) đến \((P)\) lớn nhất. Phương trình của \((P)\) là:

A. \( x - z = 0 \quad \) B. \( 2x - z = 0 \quad \) C. \( x + z = 0 \quad \) D. \( 2x + z = 0 \)

(Đề thi TNPT 2022 câu 45 Mã 112)

page24

3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (có 3 trường hợp)

Cho mp (P): \( A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \)
mp (Q): \( A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \)

- mp (P) ≡ mp (Q) \( \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2} \)
- mp (P) // mp (Q) \( \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2} \)
- mp (P) cắt mp (Q) \( \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} \) hoặc \( \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \).

Bài tập: Viết pt mp (P) qua \( A(1,1,1) \) // mp (Q): \( x - 2y + 3z + 2 = 0 \).

mp (P): \( x - 2y + 3z - 2 = 0 \).

page25

* Chùm mặt phẳng

Bài tập: Cho 2 mặt phẳng (P): \( A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \) và (Q): \( A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta\).
Khi đó: Mọi mặt phẳng R bất kỳ chứa đường thẳng \(\Delta\) và mp (R) \(\neq\) (Q) có phương trình dạng:

Đáp án:\( mp (R): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 + m(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = 0.\)

page26

Bài tập: Cho mp (P): \( x + 2y + z - 4 = 0 \) và mp (Q): \( 5x + 2y - 3z + 4 = 0 \).
Viết pt mp (R) chứa giao tuyến \( \Delta \) của mp (P) và mp (Q) đồng thời mp (R) qua điểm \( M(1, -1, 3) \).

A. \( 7x + 2y - 5z + 8 = 0 \quad \) B. \( 3x + 2y - z + 2 = 0 \)
C. \( 2x - 7y - 5z + 6 = 0 \quad \) D. \( x - z + 2 = 0 \)

Đáp án:

mp (R): \( (x + 2y + z - 4) + m (5x + 2y - 3z + 4) = 0 \).

Bấm máy: \((1 - 2 + 3 - 4) + x(5 - 2 - 9 + 4) \rightarrow Shift \rightarrow Solve \rightarrow x \rightarrow = \rightarrow x = -1\)

mp (R) qua \( M(1, -1, 3) \iff -2 + 2m = 0 \iff m = -1. \)

mp (R): \( (x + 2y + z - 4) - (5x + 2y - 3z + 4) = 0 \)

\( \iff -4x + 4z - 8 = 0 \)

\( \iff x - z + 2 = 0 \Rightarrow \boxed{D}\)

page27