Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 6

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình mặt phẳng - Bài tập phần 6

Bài tập: Cho mặt phẳng \( P \): \( 3x + y - z - 3 = 0 \), mặt phẳng \( Q \): \( 2x - y - z = 0 \). Viết phương trình mặt phẳng \( R \) song song \( Oz \) và chứa giao tuyến của mp\(P\) và \(Q\).

A. \( x + 2y + 5 = 0 \quad \) B. \( 2x - y + 5 = 0 \quad \) C. \( x + 2y - 3 = 0 \quad \) D. \( 2x + y + 5 = 0 \)

Đáp án:

mp\( R \): \( (3x + y - z - 3) + m(2x - y - z) = 0 \)

mp\( R \): \( (3 + 2m)x + (1 - m)y - (m + 1)z - 3 = 0 \)

mp\( R \parallel Oz \) \( \Leftrightarrow -(m + 1) = 0 \Leftrightarrow m = -1. \)

mp\( R \): \( x + 2y - 3 = 0 \Rightarrow \boxed{C}\)

page28

Bài tập: Cho mp (P): \(x - 2y + z - 1 = 0\), mp (Q): \(2x + y - 3z + 1 = 0\) và 2 điểm \(A(0, 1, -2), B(1, 3, -1)\). Viết phương trình mp \(R\) chứa giao tuyến của mp \(P\) và mp \(Q\) đồng thời mp\(R // AB\).

A. \( 5x + 4y - 5z + 1 = 0 \quad \) B. \( 5x - 7y + 1 = 0 \)
C. \( -7x - 6y + 13z - 5 = 0 \quad \) D. \( 5x - 5z + 1 = 0 \)

Đáp án:

mp \(R\):

\( (x - 2y + z - 1) + m(2x + y - 3z + 1) = 0 \)

\( (1 + 2m)x + (m - 2)y + (1 - 3m)z - 1 + m = 0 \)

\( \overrightarrow{AB} = (1, 2, 1) // \text{mp P} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1, 2, 1) \perp \overrightarrow{n_P} = (1 + 2m, m - 2, 1 - 3m) \)

\( \Rightarrow 1 + 2m + 2m - 4 + 1 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2 \)

mp (R): \( 5x - 5z + 1 = 0 \Rightarrow \boxed{D}\)

page29

Bài tập: Cho 3 mặt phẳng: \((CP): 2x + 4y - 5z + 2 = 0 \quad \) \((CQ): x + 2y - 2z + 1 = 0 \quad \) \((CR): mx - my + z + n = 0\). Biết 3 mặt phẳng \((CP), (CQ), (CR)\) có chung 1 giao tuyến. Khi đó \(m + n\) bằng:

A. -4 \(\quad\) B. 8 \(\quad\) C. -8 \(\quad\) D. 4

Đáp án:

+ Chọn 2 điểm thuộc giao tuyến của \((P), (Q)\):

\( \begin{cases} 2x + 4y - 5z = -2 \\ x + 2y - 2z = -1 \end{cases} \)

\( A(0, -\frac{1}{2}, 0) \), \( B(-1, 0, 0) \).

+ Mặt phẳng \( R \) qua \( A(0, -\frac{1}{2}, 0) \), \( B(-1, 0, 0)\):

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{m}{2} + n = 0 \\ -m + n = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -8 \\ n = 4 \end{cases} \Rightarrow + n = -4 \Rightarrow \boxed{A}\)

Cách 2: Hay hơn!

Mặt phẳng \( R \): \( (2x + 4y - 5z + 2) + a(x + 2y - 2z + 1) = 0 \)

\( \Leftrightarrow (2 + a)x + (4 + 2a)y - (2a + 5)z + 2 + a = 0 \)

\( \Leftrightarrow 4x - my + z + n = 0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{2 + a}{4} = \frac{4 + 2a}{-m} = \frac{-(2a + 5)}{1} = \frac{2 + a}{n} \Rightarrow a = -\frac{22}{9} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} n = 4 \\ a = \frac{-22}{8} \\ m = -8 \end{cases} \)

page30

Bài tập: Gọi \((P)\) là mặt phẳng qua \( G(2,1,1) \) cắt \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt tại A, B, C, sao cho G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Phương trình của mp (P) là:

A. \( x + 2y + 2z - 12 = 0 \quad \) B. \( x + 2y + 2z + 6 = 0 \)
C. \( 2x + y + z - 6 = 0 \quad \) D. \( x + 2y + 2z - 6 = 0 \)

Đáp án:

mp (P) cắt Ox, Oy, Oz tại \( A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) \)
\( \Rightarrow G \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right) = (2,1,1) \Leftrightarrow a = 6, b = 3, c = 3 \)

Viết mp (P): \( \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 6 = 0 \Rightarrow \boxed{D} \)

page31

Bài tập: Mặt phẳng (P) qua \( H(2,1,1) \) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C, sao cho H là trực tâm của \(\Delta ABC\). Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. \( 2x - y - z - 2 = 0 \quad \) B. \( x + y + z - 4 = 0 \)
C. \( 2x + y + z - 6 = 0 \quad \) D. \( x + 2y + 2z - 6 = 0 \)

Đáp án:

+ \( OA \perp OB \perp OC \perp OA \).

- H là trực tâm của \(\Delta ABC \Leftrightarrow OH \perp mp(\Delta ABC)\).
- Khi đó: \( \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} \)

Mặt phẳng \( ABC \perp \overrightarrow{OH} = (2,1,1) \), tại \( H(2,1,1) \).

Mặt phẳng (ABC): \( 2x + y + z - 6 = 0 \Rightarrow \boxed{C}\).

page32