Đường thẳng và Mặt phẳng  

1. Vector pháp của một mặt phẳng
- \(\vec{n}\) là vector pháp của mặt phẳng \(P\) nếu: \( \begin{cases} \vec{n} \neq \vec{0} \\ \vec{n} \perp mp P \end{cases} \)

* Một mặt phẳng có vô số vector pháp

- Nếu: \( \begin{cases} \vec{a} // mpP \, \text{hoặc } \vec{a} \in mpP \\ \vec{b} // mpP \, \text{hoặc } \vec{b} \in mpP \end{cases} \), thì \( \left[ \vec{a}, \vec{b} \right] \perp mpP \).

- Mặt phẳng \( \text{(ABC)} \) có vector pháp \( \vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \).

2. Phương trình của một mặt phẳng trong không gian

- Mỗi mặt phẳng \(P\) trong không gian, phương trình mặt phẳng \(P\) đều có dạng: \( P: Ax + By + Cz + D = 0 \).  
Trong đó: \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0.  
Khi đó, mặt phẳng \(P\) có vector pháp \( \vec{n}_P = (A, B, C) \).

Ví dụ: 1) Mặt phẳng \(P\) qua \(M(1, -2, 3)\) nhận \(\vec{n} = (4, 3, 1)\) làm vector pháp có phương trình: \( 4x + 3y + z - 1 = 0 \).

- Mặt phẳng trung trực của \(AB\) qua \(I(3, 1, -2) \perp \overrightarrow{AB} = (2, -4, 4)\) có phương trình: \( x - 2y + 2z + 3 = 0 \).

page1

Các mặt phẳng đặc biệt:

- Mặt phẳng \((P)\): \(Ax + By + D = 0 \, (D \neq 0) \Rightarrow (P) \parallel Oz\).  
- Mặt phẳng \((Q)\): \(Ax + By = 0 \Rightarrow (Q)\) chứa trục \(Oz\).  
- Mặt phẳng \((R)\): \(Ax + D = 0 \, (D \neq 0) \Rightarrow (R) \parallel \text{mp}(Oyz)\).  

Nhận xét: 

1. Trong phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\): \(Ax + By + Cz + D = 0\).

2. Nếu vắng mặt biến nào thì \((P)\) song song hoặc chứa trục tọa độ đó. Lúc này:  
    - Nếu \(D = 0\), thì \((P)\) chứa trục tọa độ đó (vì giao với trục tọa độ là gốc tọa độ \(O\)).  
    - Nếu \(D \neq 0\), thì \((P)\) song song với trục tọa độ đó.

Ví dụ 
- Mặt phẳng \((P)\): \(2x - 3z + 1 = 0 \Rightarrow (P) \parallel Oy\).  
- Mặt phẳng \((Q)\): \(y - 2z = 0 \Rightarrow (Q)\) chứa trục \(Ox\).  
- Mặt phẳng \((R)\): \(2y - 3 = 0 \Rightarrow (R) \parallel \text{mp}(Oxz)\).  

Bài tập

1. Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(2, -1, 3)\) song song \(\text{mp}(xOz)\) có phương trình là?  
   - Gợi ý: \(y + 1 = 0\).  

2. Mặt phẳng \((Q)\) qua \(A\) song song \(\text{mp}(xOy)\) có phương trình?  
   - Gợi ý: \(z - 3 = 0\).  

3. Mặt phẳng \((R)\) qua \(A\) song song \(\text{mp}(yOz)\) có phương trình?  
   - Gợi ý: \(x - 2 = 0\).

page2