Sự tương giao và tiếp xúc của hai đường bài tập phần 2
Sự tiếp xúc của hai đường cong
Định nghĩa:
Giả sử hai hàm số \( f \) và \( g \) có đạo hàm tại \( x_0 \). Ta nói hai đường cong \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) tiếp xúc nhau tại điểm \( M(x_0, y_0) \) nếu \( M \) là một điểm chung của chúng và hai tiếp tuyến của hai đường cong tại \( M \) là trùng nhau. Lúc đó, \( M \) gọi là tiếp điểm của hai đường cong.
Giả sử hai hàm số \( f \) và \( g \) có đạo hàm tại \( x_0 \). Ta nói hai đường cong \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) tiếp xúc nhau tại điểm \( M(x_0, y_0) \) nếu \( M \) là một điểm chung của chúng và hai tiếp tuyến của hai đường cong tại \( M \) là trùng nhau. Lúc đó, \( M \) gọi là tiếp điểm của hai đường cong.
Ta có: \(\begin{cases}
f(x_0) = g(x_0) \\
f'(x_0) = g'(x_0)
\end{cases}\)
Hai đường cong \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\begin{cases}
f(x) = g(x) \\
f'(x) = g'(x)
\end{cases}\) có nghiệm. Lúc đó, nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm.
f(x) = g(x) \\
f'(x) = g'(x)
\end{cases}\) có nghiệm. Lúc đó, nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm.
page 37
Bài tập: Chứng minh rằng hai đồ thị của hai hàm số \( f(x) = x^3 - x^2 + 4 \) và \( g(x) = -x^2 + 3x + 6 \) là tiếp xúc nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Trắc nghiệm: Biết rằng hai đồ thị \((C)\) và \((C')\) của hai hàm số \( f(x) = x^3 - x^2 + 4 \) và \( g(x) = -x^2 + 3x + 6 \) tiếp xúc nhau tại một điểm. Phương trình tiếp tuyến chung của \((C)\) và \((C')\) tại điểm đó là:
\(\text{A. } y = 5x - 7 \quad \text{B. } y = 5x + 7\)
\(\text{C. } y = -5x + 7 \quad \text{D. } y = -5x - 7 \)
page 38
Bài tập: Giá trị của \( m \) để hàm số \( y = x^4 - m^2x^2 - m - 1 \) tiếp xúc với đường thẳng \( y = 2x - 2 \) tại điểm có hoành độ \( x = 1 \) là:
\(\text{A. } -1 \quad \text{B. } 0 \quad \text{C. } \pm 1 \quad \text{D. } 1\)
page 39
Bài tập: Các giá trị của \(a\) và \(b\) để parabol \(y = x^2 + ax + b\) tiếp xúc với đồ thị \( (C) \) của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) tại điểm có hoành độ \(x = -1\) là:
\(\text{A. } \begin{cases}
a = 3 \\
b = 1
\end{cases} \quad \text{B. } \begin{cases}
a = 4 \\
b = 2
\end{cases} \)
a = 3 \\
b = 1
\end{cases} \quad \text{B. } \begin{cases}
a = 4 \\
b = 2
\end{cases} \)
\(\text{C. } \) Một kết quả khác \) \( \quad \text{D. } \begin{cases}
a = 5 \\
b = 3
\end{cases}\)
a = 5 \\
b = 3
\end{cases}\)
page 40
**Chú ý:**
Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị \((C)\), \( y = g(x) \) có đồ thị \((C')\). \((C)\) tiếp xúc \((C')\) \( \Leftrightarrow \) Hệ \( \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f'(x) = g'(x) \end{cases} \) có nghiệm. Lúc đó, nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm.
Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị \((C)\), \( y = g(x) \) có đồ thị \((C')\). \((C)\) tiếp xúc \((C')\) \( \Leftrightarrow \) Hệ \( \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f'(x) = g'(x) \end{cases} \) có nghiệm. Lúc đó, nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm.
Bài tập: Tìm \( m \) để đồ thị hàm số \( y = 2x^3 - 3(m + 3)x^2 + 18mx - 8 \) tiếp xúc \(Ox\).
Trắc nghiệm: Số giá trị của \( m \) để đồ thị hàm số \( y = 2x^3 - 3(m + 3)x^2 + 18mx - 8 \) tiếp xúc \(Ox\) là:
\(\text{A. } 1 \quad \text{B. } 2 \quad \text{C. }3 \quad \text{D. } 4\)
page 41