Sự tương giao và tiếp xúc của hai đường - Bài tập phần 4
Bài tập: Cho hàm số \( y = \frac{2x^2 + (1 - m)x + m + 1}{x - m} \) có đồ thị \((Cm)\). Biết rằng \( m \neq - 1 \), \((Cm)\) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng \( d \) cố định. Tìm phương trình của đường thẳng đó.
\(\text{A. } y = x + 1 \quad \text{B. } y = x - 1 \)
\(\text{C. } y = -x + 1 \quad \text{D. } y =-x - 1 \)
\(\text{A. } y = x + 1 \quad \text{B. } y = x - 1 \)
\(\text{C. } y = -x + 1 \quad \text{D. } y =-x - 1 \)
page 47
Các phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị \((C)\). Gọi \((C_1)\) là đồ thị của hàm số \( y = f_1(x) = |f(x)| \).
Ta có:
\(f_1(x) = |f(x)| =
\begin{cases}
f(x), & \text{ nếu } f(x) \geq 0 \\
-f(x), & \text{ nếu } f(x) < 0
\end{cases}\)
Do đó, từ đồ thị \((C)\) của hàm số \( f(x) \) ta suy ra đồ thị \((C_1)\) của hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \) như sau:
- Phần đồ thị \((C)\) nằm phía trên trục hoành thì trùng với đồ thị \((C_1)\).
- Phần đồ thị \((C)\) nằm phía dưới trục hoành thì đối xứng với \((C_1)\) qua trục hoành.
Ta có:
\(f_1(x) = |f(x)| =
\begin{cases}
f(x), & \text{ nếu } f(x) \geq 0 \\
-f(x), & \text{ nếu } f(x) < 0
\end{cases}\)
Do đó, từ đồ thị \((C)\) của hàm số \( f(x) \) ta suy ra đồ thị \((C_1)\) của hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \) như sau:
- Phần đồ thị \((C)\) nằm phía trên trục hoành thì trùng với đồ thị \((C_1)\).
- Phần đồ thị \((C)\) nằm phía dưới trục hoành thì đối xứng với \((C_1)\) qua trục hoành.
Ví dụ: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Vẽ đồ thị của hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \).
Hướng dẫn:
Hàm số \( y = f(x) \) có 2 điểm cực trị.
Câu hỏi 1: Hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số \( f_1(x) \) có 5 điểm cực trị.
Câu hỏi 2: Bạn có nhìn thấy mối liên hệ giữa số điểm cực trị của hàm số \( f_1(x) \), số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \), và đồ thị \( (C)\) của hàm số \( f(x) \) không?
Số điểm cực trị của hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \) bằng số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số \( f(x) \) với trục hoành.
page 48,49
Ví dụ: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hãy chỉ ra số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) và hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \).
Hướng dẫn:
- Hàm số \( y = f(x) \) có 2 điểm cực trị.
- Hàm số \( f_1(x) = |f(x)| \) có 3 điểm cực trị.
Kết luận tổng quát: Số điểm cực trị của hàm số \( y = |f(x)| \) bằng số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) cộng với số nghiệm đơn của phương trình \( f(x) = 0 \) (số giao điểm của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) với trục hoành, không tính các điểm đồ thị hàm \(f(x)\) tiếp xúc trục hoành, tức là phương trình \( f(x) = 0 \) có nghiệm bội).
page 50
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số \( y = |f(x)| \) có bao nhiêu điểm cực trị?
\(\text{A. } 4 \quad \text{B. } 2 \quad \text{C. } 3 \quad \text{D. } 5 \)
(Đề thi TNPT 2017, mã đề 102, câu 42)
Bài tập: Cùng câu hỏi bên trê với bảng biến thiên như sau:
\(\text{A. } 3 \quad \text{B. } 4 \quad \text{C. } 5 \quad \text{D. } 6 \)
page 51