Lời giải

\(\int_1^2 f(u) \, du = a \)

Đặt \(u = \cos x + 1 \Rightarrow du = -\sin x \, dx\) 

\(\begin{cases}
x = 0   \Rightarrow u = 2 \\
x = {\frac{\pi}{2}} \Rightarrow u = 1
\end{cases}\)

 \(I = \int_0^{{\frac{\pi}{2}}} \sin x  f(\cos x + 1) \, dx = -\int_2^1 f(u) \, du = \int_1^2 f(u) \, du = a\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)  

page 52 

Lời giải

• Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = (1 + \tan^2 x) \, dx \)
                            \(\Rightarrow dx = \frac{1}{1 + t^2} \, dt\)  

\(\begin{cases}
x = 0 \Rightarrow t = 0\\
x = {\frac{\pi}{4}} \Rightarrow t = 1
\end{cases}\)

\( 4= \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \, dx = \int_0^1 \frac{f(t)}{1 + t^2} \, dt\)

\(2 = \int_0^1 \frac{x^2 f(x)}{1 + x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{(x^2 + 1 - 1) f(x)}{1 + x^2} \, dx\)

   \( = \int_0^1 f(x) \, dx - \int_0^1 \frac{f(x)}{1 + x^2} \, dx = I - 4 \)

\(\Rightarrow \quad I = 6\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \) 

page 53

Lời giải

\(I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} f(1 - 2x) \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^1 f(2x - 1) \, dx\)

•  Đặt \(t = 1 - 2x \Rightarrow dt = -2 \, dx \)  

\(\begin{cases}
x = -1 \Rightarrow t = 3 \\
x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0
\end{cases}\)

\(\int_{-1}^{\frac{1}{2}} f(1 - 2x) \, dx = \int_3^0 f(t)  \left(-\frac{1}{2}\right) \, dt = \frac{1}{2} \int_0^3 f(t) \, dt  = 3\)

•   Đặt \(t = 2x - 1 \Rightarrow dt = 2 \, dx\)  

\(\begin{cases}
x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0 \\
x = 1 \Rightarrow t = 1
\end{cases}\)

\(\int_{\frac{1}{2}}^1 f(2x - 1) \, dx = \int_0^1 f(t) \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^1 f(t) \, dt = 1\)

\(I = 3 + 1 = 4\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \) 

page 54

Lời giải

Đặt \(\begin{cases}
u = x \\
dv = f(x) \, dx
\end{cases}
\Rightarrow 
\begin{cases}
du = dx \\
v = F(x)
\end{cases}\)

\(I = \int_0^2 x f(x) \, dx = x F(x) \bigg|_0^2 - \int_0^2 F(x) \, dx\)

 \( = 2 F(2) - 0 - 1 = 2  - 1 = 1\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \) 

page 55

Lời giải

\(\begin{cases}
u = x \\
dv = f'(2x) \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow 
\begin{cases}
du = dx\\
v = \frac{1}{2} f(2x)
\end{cases}\)

\(I = \int_0^1 x f'(2x) \, dx =\frac{x}{2} f(2x) \bigg|_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 f(2x) \, dx\)

 \( = 8 - \frac{1}{2} \int_0^1 f(2x) \, dx\)

Đặt  \(t = 2x \Rightarrow dt = 2 \, dx\)  

\(\begin{cases}
x = 0 \Rightarrow t = 0 \\
x = 1 \Rightarrow t = 2
\end{cases}\)

\(\int_0^1 f(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 f(t) \, dt =  2\)

Suy ra:  \(I = 8 - 1 = 7\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \) 

page 56