( Đề tham khảo lần 3 của Bộ 2017 )

Lời giải

Đặt \( \begin{cases}
u = x+1 \\
dv = f'(x) \, dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = dx \\
v = f(x)
\end{cases} \)

  \( \int_0^1 (x+1)f'(x) \, dx = (x+1)f(x) \bigg|_0^1 - \int_0^1 f(x) \, dx = 10 \)

\( \Rightarrow 2f(1) - f(0) - I = 10 \Rightarrow I = -8 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 57

Lời giải

Đặt \( \begin{cases}
u = x+1 \\
dv = \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \, dx
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
du = dx \\
v = 2\sqrt{f(x)}
\end{cases} \)

\( 10 = \int_{-1}^1 \frac{(x+1)f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \, dx = (x+1)2\sqrt{f(x)} \bigg|_{-1}^1 - 2 \int_{-1}^1 \sqrt{f(x)} \, dx \)

      \(  = 4\sqrt{f(1)} - 2I = 8 - 2I \Rightarrow \ I = -1 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 58

Lời giải

\( \frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{1 + (f(x))^2}} = 2x \implies \sqrt{1 + (f(x))^2} = x^2 + c \)

Vì \( f(0) = 0 \), suy ra \( c = 1 \). 

\( \Rightarrow 1 + (f(x))^2 = x^4 + 2x^2 + 1\)

\( \Rightarrow f(x) = \sqrt{x^4 + 2x^2} \)

\( I = \int_1^3 \sqrt{x^4 + 2x^2}  \, dx = \int_1^3 x\sqrt{x^2 + 2} \, dx \)

\( = \frac{1}{2} \frac{(\sqrt{x^2 + 2})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}  \Bigg|_1^3 = \frac{1}{3}  (x^2 + 2)\sqrt{x^2 + 2} \Bigg|_1^3 \)

\(  = \frac{1}{3} \Big[ 11\sqrt{11} - 3\sqrt{3} \Big] \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 59

( Đề thi TNPT 2023 câu 42. Mã 101)

Lời giải

Ta có:  

\(  f(x) \ln f(x) = x (f(x) - f'(x) \Leftrightarrow \ln f(x) = x ( 1 - \frac{f'(x)}{f(x)}) \)

\( \Leftrightarrow \ln f(x) = x ( 1 - (\ln f(x))' )\)

\( \Leftrightarrow \ln f(x) + x (\ln f(x))' = x \)

\( \Leftrightarrow (x \ln f(x))' = x \)

Suy ra  \( x \ln f(x) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c \)

Cho \( x = 1 \), ta được:  \( \ln f(1) = \frac{1}{2} + c \)

Cho \( x = 3 \), ta được:  \( 3\ln f(3) = \frac{9}{2} + c \)

Vì \( f(1) = f(3) \) suy ra:  \( c = \frac{3}{2} \)

Nên:  \( x \ln f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \implies \ln f(x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2x} \)

\( \Rightarrow f(x) = e^{\frac{x^2}{2} + \frac{3}{2x}} \)

Suy ra \(  f(2) = e^{\frac{7}{4}} \approx 5,75 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 60

Lời giải

Xét  \( I = \int_1^2 (x-1)(x-2)f''(x) \, dx = \int_1^2 (x^2 - 3x + 2)f''(x) \, dx \)

Đặt \( \begin{cases}
u = x^2 - 3x + 2\\
dv = f''(x) \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow 
\begin{cases}
du = (2x-3) \, dx\\
v = f'(x)
\end{cases}\)

\( I =  (x^2 - 3x + 2)f'(x) \Bigg|_1^2 - \int_1^2 (2x-3)f'(x) \, dx \)

 \(  = -\int_1^2 (2x-3)f'(x) \, dx \)

Đặt  \( \begin{cases}
u = 2x - 3 \\
dv = f'(x) \, dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = 2 \, dx \\
v = f(x) \end{cases} \)

\( I = -\Big[(2x - 3)f(x)\Bigg|_1^2 - \int_1^2 2f(x) \, dx \Big] \)

  \(  =  2 \int_1^2 f(x) \, dx = 8 \)
 

page 61