Lời giải

•  \( \int_{1}^{2} f'(x) \, dx = f(x) \bigg|_{1}^{2} = f(2) - f(1) = 5 \)

•  \( \int_{1}^{2} \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| \bigg|_{1}^{2} = \ln |f(2)| - \ln |f(1)| \)

                          \(= \ln \left| \frac{f(2)}{f(1)} \right| = \ln 3 \Rightarrow \left|  \frac{f(2)}{f(1)} \right| = 3 \)

•  \( f(2) - f(1) = 5 \quad \Rightarrow \quad f(2) > f(1) > 0 \)

Tóm lại: \( \begin{cases}
f(2) - f(1) = 5 \\
f(2) = 3 f(1)
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
f(1) = \frac{5}{2} \\
f(2) = \frac{15}{2}
\end{cases} \) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 67

Lời giải

\( \int_{0}^{3} f'(x) \, dx + \int_{0}^{3} f'(3 - x) \, dx = 5 \)

\( \Leftrightarrow f(x) \bigg|_{0}^{3} - f(3 - x) \bigg|_{0}^{3} = 5 \)

\( \Leftrightarrow f(3) - f(0) - \big[f(0) - f(3)\big] = 5 \)

\( \Leftrightarrow 2f(3) - 2f(0) = 5 \)

\( \Leftrightarrow 2f(3) = 6 \Leftrightarrow \quad f(3) = 3 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 68

Lời giải

Đặt  \( \int_{0}^{4} f(x) \, dx = \alpha, \quad \int_{0}^{4} g(x) \, dx = \beta \)

Ta có
\( \begin{cases}
\alpha + 2\beta = 7 \\
2\alpha - 3\beta = 5
\end{cases} 
\Rightarrow
\begin{cases}
\alpha = \frac{31}{7} \\
\beta = \frac{9}{7}
\end{cases} \)

\( \Rightarrow \int_{0}^{4} (( f(x) + g(x) )  \, dx = \alpha + \beta = \frac{40}{7} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 69

Lời giải

• \( f'(x) = kx(x + 2) \)

•  \( f'(-1) = -3  \quad \Rightarrow k = 3 \)

•  \( f'(x) = 3x(x + 2) = 3x^2 + 6x \)  

•  Đồ thị hàm \( f \) tiếp xúc trục hoành tại điểm có \( x < 0 \Rightarrow  \) Hoành độ tiếp điểm là \( x = -2 \)

\(  f(x) = \int \big(3x^2 + 6x\big) \, dx = x^3 + 3x^2 + C\)

\(  \Rightarrow f'(-2) = 0 \quad \Leftrightarrow 4 + C \Rightarrow C = -4 \)

\(  \Rightarrow f(x) = x^3 + 3x^2 - 4 \) 

\( \Rightarrow f(0) =  -4\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

•  Tìm \( f'(x) \) cách 2:  \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c. \) Tìm a, b, c

page 70

Lời giải

• \( f'(x) = k(x+1)(x-2) \)

• Đồ thị hàm f tiếp xúc đường thẳng \( y = 2x + 1 \) tại điểm có hoành độ \( x = 1 \Rightarrow f'(-1) = 2 \Rightarrow -2k = 2 \Rightarrow k = -1 \)

\( f'(x) = -(x+1)(x-2) = - x^2 + x + 2 \)

\( f(x) = \int f'(x) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + c \)

Đồ thị hàm \( f \) qua \( A(1, 5) \Rightarrow \frac{-1}{3} + \frac{1}{2} + 2x +c = 5\)

\( \Leftrightarrow c = 5 - \frac{13}{6} = \frac{17}{6} \)

\( f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + \frac{17}{6} \Rightarrow f(0) =  \frac{17}{6} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 71