Lời giải

\( \int_{-1}^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^0 (x^2 + x + 1) \, dx + \int_0^1 (2x + 1) \, dx \)

                       \( = \frac{17}{6} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)  

page 72

Lời giải

\( F'(x) = (2ax + b)e^{-x} - e^{-x}(ax^2 + bx + c) \)

            \(  = (-ax^2 + (2a - b)x + b - c)e^{-x}\)

            \(  = (-2x^2 + 7x - 4)e^{-x} = f(x) \)

\( \Leftrightarrow\begin{cases}
-a = -2 \\
2a - b = 7 \\
b - c = -4
\end{cases} 
\Rightarrow \begin{cases}
a = 2 \\
b = -3 \\
c = 1 \end{cases} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)  

page 73

Bài tập: Cho hàm số \( y = e^{-x^2} \) có đồ thị như hình vẽ. \( ABCD \) là hình chữ nhật thay đổi, sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho, \( A,D \) nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật \( ABCD \) là:  

(Trường THPT Thăng Long - Hà Nội 2019)  

Lời giải

Gọi \( a \) là hoành độ của \( D \Rightarrow C(a, e^{-a^2}) \)

\( S_{ABCD} = 2a . e^{-a^2} = f(a) , a > 0\)

\( f'(a) = 2 \left[ e^{-a^2} - 2a^2.e^{-a^2} \right] = 2 . e^{-a^2} \left[ 1 - 2a^2 \right]  = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 

Bảng xét dấu:  

\( Max  S = f( \frac{\sqrt{2}}{2})  = 2 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 74

Lời giải

• Bấm \( \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{(1 - x)^2}
\, dx = 0,990345 \begin{cases} a\sqrt[3]{2} + b \sqrt[3]{18} = A \\ a + b = ? \end{cases} \)

• Nhấn: \(Shift \implies Sto \implies A\) (Lưu kết quả vào A)  

         Mode  → 5 → 1 ( hệ 2 ẩn)

            \( \sqrt[3]{2} \implies = \implies \sqrt[3]{18} \implies = \implies  Alpha \implies A \implies =\)

           \( 1\implies = \implies  1 \implies = \implies -\frac{3}{10} \implies  = ra \)\( \begin{cases} x = -1,30...\\ y = 1.005.... \end{cases}\)

            \(AC \implies \frac{3}{10} \implies = \implies= ra \) \( \begin{cases} x = -\frac{3}{20}\\ y = \frac{9}{20}\end{cases}\)

Vậy  \( \begin{cases} x = -\frac{3}{20}\\ y = \frac{9}{20}\end{cases} \Rightarrow a +b = \frac{3}{10}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 75 

\( I = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{(1 - x)^2} \, dx = -\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - (1 - x)^{\frac{2}{3}} \, dx \)

   \( = -\frac{3}{5} (1 - x)^{\frac{5}{3}} \Bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \)

   \( = \frac{9}{20} \sqrt[3]{18} - \frac{3}{30} \sqrt[3]{2} \)

\( \Rightarrow \begin{cases} a = -\frac{3}{20} \\ b = \frac{9}{20} \end{cases} \Rightarrow a^2 + b^2 = \frac{9}{40} \)

page 76