Tích phân bài tập phần 17

Bài tập: Tính \( I = \int_{-2}^2 \frac{x^{2018}}{1 + e^x} \, dx \)
A. \( I = 0 \)  
B. \( I = \frac{2^{2018}}{2018} \)  
C. \( I = \frac{2^{2019}}{2019} \)  
D. \( I = \frac{2^{2020}}{2020} \)

Lời giải

Bấm: Math error !

Đặt \( t = -x \Rightarrow dx = -dt \)  

\( \begin{cases} x = 2 & \Rightarrow t = -2 \\ x = -2 & \Rightarrow t = 2 \end{cases} \)

\(I = \int_{2}^{-2} \frac{t^{2018}}{1 + e^{-t}} (-dt) = \int_{-2}^{2} \frac{e^t . t^{2018}}{1 + e^t} \, dt\)
 

\( I = \int_{-2}^2 \frac{(e^t + 1 - 1).t^{2018}}{1 + e^t} \, dt = \int_{-2}^2 t^{2018} dt - I\)

\( \Rightarrow 2I = \frac{t^{2019}}{2019} \bigg|_{-2}^2 \Rightarrow I = \frac{2^{2019}}{2019} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

*Tổng quát: Nếu \( y = f(x) \) là hàm số chẵn liên tục trên đoạn\( [-a, a] \) thì:  

\( \int_{-a}^a \frac{f(x)}{1 + a^x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\alpha}^\alpha f(x) \, dx \)

 

 

page 82


Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \), biết rằng \( dy = \left(ax + \frac{b}{x^2}\right) dx \) và \( f'(1) = 0 \), \( f(1) = 4 \), \( f(-1) = 2 \). Khi đó \( f(-2) \) bằng ?
A. \( f(-2) = 1 \) 
B. \( f(-2) = 4 \) 
C. \( f(-2) = 2 \)  
D. \( f(-2) = 3 \)

Lời giải

• \( y = f(x) \), \( dy = \left(ax + \frac{b}{x^2}\right) dx \)    \( \Rightarrow f'(x) = ax + \frac{b}{x^2} \) 
 
\( f'(1) = 0 \Rightarrow a + b = 0 \)

• \( dy = \left(ax + \frac{b}{x^2}\right) dx \Rightarrow \int dy = \int \left(ax + \frac{b}{x^2}\right) dx \)   \( \Rightarrow y = \frac{a x^2}{2} - \frac{b}{x} + c = f(x) \)

• \( f(1) = 4 \Leftrightarrow \frac{a}{2} - b + c = 4 \)

• \( f(-1) = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + b + c = 2 \)

Vậy  \( \begin{cases}
a + b = 0 \\
\frac{a}{2} - b + c = 4 \\
\frac{a}{2} + b + c = 2
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a = 1\\ 
b = -1\\
c = \frac{5}{2}
\end{cases}\)


 \( f(x) = \frac{ x^2}{2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}  \Rightarrow f(-2) = 2 - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 4 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 83


a) \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} \, dx \)  (ĐH Nông nghiệp Hà Nội 2001)

Đặt \( t = \frac{\pi}{2} -  \Rightarrow I = \frac{\pi}{4} \)

b)  \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^4 x}{\sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}} \, dx 
\quad\) (ĐH Xây dựng Hà Nội 1997)

Đặt \( t = \frac{\pi}{2} - x \)

 

c)  \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^6 x}{\sqrt{\sin^6 x + \cos^6 x}} \, dx 
\quad \) (ĐH Huế 2000)
 


page 84


\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1 + \tan x) \, dx\)

Đặt \( t = \frac{\pi}{4} - x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - t \), \( dx = -dt \)  

\( I = - \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \ln \left(1 + \tan \left(\frac{\pi}{4} - t\right)\right) dt \)

\(   = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}\right) \, dt \)

\( = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(\frac{2}{1 + \tan t}\right) \, dt \)

\( = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln 2  - I \)

\(  \Rightarrow I = \frac{1}{2} \ln 2 \bigg|_0^{\frac{0}{\pi}} = \frac{\pi}{8} \ln 2 \)

 

Biết:  \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1 + \tan x) \, dx = \frac{\pi}{a^3} \ln a^2. \)Khi đó \( a^3 - a^2  \) bằng?
A. \( a^3 - a^2 = 48 \)
B. \( a^3 - a^2 = 18 \) 
C. 100 
D. 41 

page 85


Cho hàm \( f \) liên tục trên \([0, 1]\).  Chứng minh \( \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx \)


Đặt \( t = \pi - x \)

\( I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = - \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin t)dt \)

\( \Rightarrow \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \, dt \)

Tính \( \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \)


\( I = \frac{\pi^2}{4} \)

Tính:\( \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^2 x} \, dx \quad\) (ĐH Vinh 2001 )

page 86