Lời giải

Đặt \( t = -x \)

\( I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6^x + 1} \, dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{6^t(\sin^6 t + \cos^6 t)}{6^t + 1} \, dt \)

\(\Rightarrow 2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin^6 t + \cos^6 t) \, dt \quad \Rightarrow I = \frac{5\pi}{32}\)

page 87

Lời giải

 \( \begin{cases} 
u = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \\
dv = dx 
\end{cases}
\Rightarrow
 \begin{cases} 
du = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \\
v = x
\end{cases}\)

\( I = x \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \Bigg|_0^1 - \int_0^1 \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \)

    \(  = x \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \Big|_0^1 - \sqrt{x^2 + 1} \Big|_0^1 \)

    \(  = \ln(1 + \sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 1) \)

     \(  = 1 + \ln(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} \)

page 88

Lời giải

Đặt \( \begin{cases}
u = \cos(\ln x) \\
dv = dx 
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = -\frac{1}{x} \sin(\ln x) \, dx \\
v = x
\end{cases}\)

\( I = x \cos(\ln x) \Bigg|_1^{e^{\pi}} + \int_1^{e^{\pi}} \sin(\ln x) \,  dx \)

Đặt  \( 
\begin{cases}
u = \sin(\ln x) \\
dv = dx 
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = \frac{1}{x} \cos(\ln x) \, dx \\
v = x
\end{cases}\)

\( I = x \cos(\ln x) \Bigg|_1^{e^{\pi}} + x \sin(\ln x) \Bigg|_1^{e^{\pi}} - \int_1^{e^{\pi}} \cos(\ln x) \, dx \)

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}(x (\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) \Bigg|_1^{e^{\pi}}  \)

  \( = -\frac{1}{2}(1 + e^{\pi}) \)

page 89

Lời giải

\( I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx \)

Xét \( \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx \)  

Đặt \( 
\begin{cases}
u = e^x \\
dv = \frac{1}{x} \, dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = e^x \, dx \\
 v = \ln x
\end{cases}\)

\( \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx = e^x \ln x \Bigg|_1^e - \int_1^e e^x \ln x \, dx \)

\( \Rightarrow I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx = e^x \ln x \Bigg|_1^e = e^e\)

page 90

Lời giải

\( I = \int_0^1 \frac{(x+1) - 1}{(x+1)^2} e^x \, dx = \int_0^1 \frac{1}{x+1} e^x \, dx - \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2} e^x \, dx \)

Xét \( I_1 = \int_0^1 \frac{1}{x+1} e^x \, dx \):  

Đặt \( 
\begin{cases}
u = \frac{1}{x+1} \\
dv = e^x \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = -\frac{1}{(x+1)^2} \, dx \\
v = e^x
\end{cases}\)

 \( I_1 = \int_0^1 \frac{1}{x+1} e^x \, dx = \frac{e^x}{x+1} \bigg|_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2} e^x \, dx \)

 \( \Rightarrow I = \frac{e^x}{x+1} \Bigg|_0^1 = \frac{e}{2} - 1 \)

Làm thêm 

a) \( \int_1^e \frac{(1 + x \ln x)}{x} e^x \, dx  (R) \) 

b) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + \sin x)}{(1 + \cos x)} e^x \, dx \)

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