Lời giải

Đặt \( x = \frac{\pi}{2} - t \Rightarrow dx = -dt \)

\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 t}{\sin t + \cos t} \, dt = J \)

\( I + J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x \cos x) \, dx\)

            \(  = \left( x - \frac{\sin^2 x}{2} \right) \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\)

Suy ra: \( I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \)

Bấm:

•  \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} \, dx = 0.535398 \approx \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \)

Lời giải

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 102 

Lời giải

Đặt \( t = x^3 \Rightarrow I = \frac{\pi}{12} \)

•   Bấm: \( I = 0.261799 = \frac{\pi}{12} = \frac{3.14159}{12}\)

\( J = \int_{0}^{1} \frac{x^4 - x^2 + 1 + x^2}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} \, dx \)

    \( = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1 + x^6} \, dx\)

    \( = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}\)
 

Bấm: \( J = 1.047197 = \frac{\pi}{3} = \frac{3.14159}{3}\)

page 103

(ĐH Thái Nguyên 2007)

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho \( \,  x^2\) 

\( I = \int_{1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}} \, dx  = \int_{1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 1} \, dx\)

Đặt \( t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \, dx \)

\( \begin{cases}
x = 1 \Rightarrow t = 0\\
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow t = 1
\end{cases} \)

\( I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t^2} \, dt \) ( Đặt \(t = tanu .......\))

\( = \frac{\pi}{4} \)

Làm thêm

a)  \( \int_{1}^{2+\sqrt{3}} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx = \int_{1}^{2+\sqrt{3}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2} \, dx\)  
(Đặt \( t = x - \frac{1}{x} \))

b)   \( \int_{1}^{2} \frac{x^2 - 1}{x^4 + x^2 + 1} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 1} \, dx \)  
(Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \))

page 104

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho \( \, x^2 \)  

\( I = \int_{1}^{2} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\left(x + \frac{1}{x} + 5\right)\left(x + \frac{1}{x} - 3\right)} \, dx \)

Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx \)

\( \begin{cases}
x = 1 \Rightarrow t = 2\\
x = 2 \Rightarrow t = \frac{5}{2}
\end{cases} \)

 \( I = \int_{2}^{\frac{5}{2}} \frac{1}{(t + 5)(t - 3)} \, dt = \frac{1}{8} \int_{2}^{\frac{5}{2}} \left(\frac{1}{t - 3} - \frac{1}{t + 5}\right) \, dt\)

    \(  = \frac{1}{8} \ln \left| \frac{t - 3}{t + 5} \right| \bigg|_{2}^{\frac{5}{2}} \)

Tổng quát: \( \int \frac{x^2 \pm 1}{(x^2 + bx + 1)(x^2 + cx + 1)} \, dx \)

page 105

Lời giải

\( \int_{0}^{a} \left(-3x^2 + 2x + 1\right) \, dx = \left(-x^3 + x^2 + x\right) \bigg|_{0}^{a} = -a^3 + a^2 + a = g(a)\)

\( g'(a) = -3a^2 + 2a + 1  = 0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\ a = \frac{-1}{3} \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 106

Lời giải

 \( f(x) =  4x^2 + 4x + 1 \)

\( F(x) = \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + d \)

\( F(-1) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{-4}{3} + 2 + 1 + d = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow a + b + c + d = \frac{4}{3} + 2 + 1 + \frac{2}{3} = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 107