( Đề thi TNPT.2022 câu 35 Mã 101)

Lời giải 

\( \int f(x) \, dx = \int dx - \frac{1}{2} \int \frac{d(2x)}{\cos^2(2x)} \, dx = x - \frac{1}{2} \tan 2x + C \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 22

(Đề thi TNPT.2019 câu 32. Mã 101)

Lời giải   

\( f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (2\cos^2 x + 1) \, dx = \int (2 + \cos 2x) \, dx \)

          \( = 2x + \frac{1}{2} \sin 2x + C \)

\( f(0) = 4 \implies C = 4 \implies f(x) = 2x + \frac{1}{2} \sin 2x + 4 \) 

\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 2x + \frac{1}{2} \sin 2x + 4 \right) \, dx =  x^2 - \frac{1}{4}\cos 2x  + 4x \Big|_0^{\frac{\pi}{4}} \)  

                       \( = \frac{\pi^2}{16} + \pi + \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 + 16\pi + 4}{16} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 23

( 2017 câu 37)

Lời giải  

* \( \int_a^b udv = uv \bigg|_a^b -  \int_a^b vdu\)

\( \int \frac{f(x)}{x} \, dx = \frac{-1}{3x^3} + C \) 

\( \Rightarrow \frac{f(x)}{x} \, dx = (-\frac{1}{ 3x^3})' = - \frac{(-3)}{3.x^4} = \frac{1}{x^4} \Rightarrow  f(x) = \frac{1}{x^3}\)

 \( \Rightarrow  f'(x) = \frac{-3}{x^4} \)

 \( I = \int_1^e f'(x) \ln x \, dx  = -3 \int_1^e \frac{1}{x^4}  \ln x \,dx \) 

Đặt \( \begin{cases}
u = \ln x\\
dv = \frac{1}{x^4} \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
du =  \frac{1}{x} \, dx\\
v = - \frac{1}{3x^3}
\end{cases}\)

\( I = -3 \left[ -\frac{1}{3x^3} \ln x \Big|_1^e + \int_1^e \frac{1}{3x^4} dx \right] \)  

Đặt \( \begin{cases}
u = \ln x\\
dv = f'(x) \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
du =  \frac{1}{x} \, dx\\
v = f(x)
\end{cases}\)

\( \int_1^e f'(x) \ln x \, dx = \ln x . f(x) \bigg|_1^e - \int_1^e \frac{1}{x}f(x) \,dx\)

\( = f(e) + \frac{1}{3x^3} \bigg|_1^e = f(e) + \frac{1}{3e^3} - \frac{1}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 24

Lời giải

Đặt \( \begin{cases}
u = \ln x\\
dv = f'(x) dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = \frac{1}{x} dx\\
v =  f(x)
\end{cases}\)  

\( I =  f(x) \ln x \bigg|_1^e - \int_1^e \frac{f(x)}{x} \, dx \)

    \(= 2 - 3 = -1 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 25

(Đề thi TNPT. 2019 câu 41. Mã 101)

Lời giải

• Đặt \( t = 4x \Rightarrow dt = 4 dx \)

• Khi đó : \( \int_0^1 x f(4x) \, dx = \int_0^4 \frac{t}{16} f(t) \, dt =  1 \)

\( \Rightarrow \int_0^4 t f(t) \, dt = 16 \)

• Xét \(\int_0^4 x^2 f'(x) \, dx\) 

Đặt \(\begin{cases}
u = x^2 \\
du = f'(x) dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = 2x \,dx\\
v = f(x)
\end{cases}\)

\( \int_0^4 x^2 f'(x) \, dx =  x^2 f(x) \bigg|_0^4 - 2\int_0^4 x f(x) \, dx \)

                            \( = 16 - 2 .16 = -16 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 26