Lời giải

•  \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \implies \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \int 2 \, dx \implies \ln (f(x)) = 2x + C\)

\( \Rightarrow f(x) = e^{2x + C}  \)  

\( f(0) = 1 \Rightarrow e^C= 1 \Leftrightarrow C = 0 \)

\( \Rightarrow f(x) = e^{2x} \Rightarrow f(1) = e^2 \)

Do đó: \( I = \frac{1}{2}(e^2 - 1)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

Cách 2: 

\( \frac{f'(x)}{f(x)} = 2 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} f'(x) \Rightarrow \int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 f'(x) \, dx = \frac{1}{2} (f(1) - f(0)) \Rightarrow f(x) = e^{2x}
\)

\(I = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \Big|_0^1 = \frac{1}{2} \left(e^2 - 1\right)\)
 

page 27

Lời giải

\( I = \int_{1}^{2} \frac{3x+1}{x(3x + \ln x)} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{3 + \frac{1}{x}}{3x + \ln x} \, dx \)

(Vì (\(3x + \ln x)' = 3 + \frac{1}{x}) \)

\( = \ln(3x + \ln x) \big|_{1}^{2} = \ln(6 + \ln 2) - \ln 3 \)

\( = \ln(2 + \frac{1}{3} \ln 2)  \)

\( \Rightarrow \begin{cases}
a = 2\\
b = 2\\
c = 3
\end{cases}
\Rightarrow
a + b + c = 7\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 28

(Đề thi TNPT 2022 câu 41. Mã 101)

Lời giải

•  \( F(x) \) và \( G(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \)

\( \Rightarrow F(x) = G(x) + c \)

•   \( S = \int_{0}^{3} |F(x) - G(x)| \, dx = \int_{0}^{3} |c| \, dx = |c| x \bigg|_{0}^{3}  \ = 3 |c|  = 15 \)

\( \Rightarrow c= ± 5 \)

•   \( \int_{0}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(0) = F(3) - G(0) + a \)

\(  \Rightarrow F(0) - G(0) = a \Rightarrow a = c\)  vì  \(a > 0 \)

Nên \(  a = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 29

Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào lớn nhất? 

Lời giải

•  \( F(t) = \int f(t) \, dt \)
•  \( G(x) = F(x) - F(2) \)

\( \Rightarrow G'(x) = F'(x) = f(x) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 30

Lời giải

\( I = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x+2}} \right) \, dx \)

    \(= \left( 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x+2} \right) \bigg|_{1}^{2} = \left( 2\sqrt{2} + 4 \right) - \left( 2 + 2\sqrt{3} \right) \)

    \(= 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{3} \)
 

page 31