Lời giải

•  \( 12 =  \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx = -\int_{-1}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{-1} f(x) \, dx\)  

•  Đặt \( t = -2x \Rightarrow dt = -2 \, dx \)

\( \begin{cases}
x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = -1 \\
x = 1 \Rightarrow t = -2
\end{cases} \)    

\( \int_{\frac{1}{2}}^1 f(-2x) \, dx = \int_{-1}^{-2} f(t) \left(-\frac{1}{2} \, dt \right) = -\frac{1}{2} \int_{-1}^{-2} f(t) \, dt \)

                            \(= \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} f(t) \, dt = 2 \)              

                            \( \Rightarrow \int_{-2}^{-1} f(t) \, dt = 4 \)

\( 12 + 4 = \int_{0}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{-2} f(x) \, dx = \int_{0}^{-2} f(x) \, dx = -\int_{-2}^0 f(x) \, dx\)

              \(= \int_{0}^2 f(x) \, dx = 16\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)

page 37

Lời giải

Đặt \( t = -2x \Rightarrow dt = -2 \, dx \)  

\( \begin{cases}
x = 1 \Rightarrow t = - 2 \\
x = 3 \Rightarrow t = -6
\end{cases} \)

\( \int_1^3 f(- 2x) \, dx = -\frac{1}{2} \int_{-2}^{-6 }f(t) \, dt = 3 \Rightarrow \int_{-6}^{-2 } f(t) \, dt = 6 \)

\( I = \int_{-1}^6 f(x) \, dx = \int_{-1}^2 f(x) \, dx + \int_2^6 f(x) \, dx \)

`   \( = \int_{-1}^2 f(x) \, dx + \int_{-6}^{-2} f(x) \, dx = 8 + 6 = 14 \)

\( \bigg (Vì:  \int_{-6}^{-2} f(x) \, dx = \int_{-6}^{0} f(x) \, dx + \int_0^{-2} f(x) \, dx = \int_0^6 f(x) \, dx + \int_2^0 f(x) \, dx \bigg ) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

\( \Delta \text{ Nếu } f(x) \) là hàm số chẵn thì

•  \( \forall a > 0: \int_{-a}^0 f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx \quad \)
•  \( \forall a, b > 0 , a < b: \int_{-b}^{-a} f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \)

page 38

Lời giải

Đặt \( t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2 \, dx \)

\( \begin{cases}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 2 \Rightarrow t = 5
\end{cases} \)

\( I = \int_1^5 \frac{(t - 1)}{2}  . f'(t) \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} \int_1^5 (t - 1) f'(t) \, dt \)

\( \bigg( \begin{aligned}
u & = t - 1 \\
dv & = f'(t) \, dt
\end{aligned}
\Rightarrow  \begin{aligned}
du = 1\\
 v = f(t)
\end{aligned} \bigg )\)

\( = \frac{1}{4} \left[ (t - 1) f(t) \bigg|_1^5 -  \int_1^5 f(t) \, dt \right] \)

\( = \frac{1}{4} \left[ 4 f(5) - 8 \right] = \frac{16}{4} = 4 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

page 39

Lời giải

\( I = 2 \int_0^1 f(3x) \, dx \)

Đặt \( t = 3x \Rightarrow dt = 3 \, dx \)

\( \begin{cases}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 3
\end{cases} \)

\( I = 2 \int_0^3 f(t) \frac{1}{3} \, dt = \frac{2}{3} \int_0^3 f(t) \, dt =  \frac{10}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)

page 40

Lời giải

• Đặt \( t = 1 - x \Rightarrow x = 1 - t \)

\( f(x) + 2f(1 - x) = 3x \quad \Leftrightarrow \quad f(1 - t) + 2f(t) = 3(1 - t) \)

Giải hệ:

\( \begin{cases}
f(x) + 2f(1 - x) = 3x \\ 
2f(x) + f(1 - x) = 3 - 3x
\end{cases}
\Rightarrow 3f(x) = 6 - 9x \quad\)

\( \Rightarrow f(x) = 2 - 3x \)

\( \Rightarrow I = \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 (2 - 3x) \, dx = \left( 2x - \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_0^1 \)

         \( = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)

Lời giải

Đặt \( t = -x\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

page 41