Lời giải
* \( f(x) + f(-x) = x^2 \Rightarrow \int_{-1}^1 f(x) \, dx + \int_{-1}^1 f(-x) \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-1}^1 = \frac{2}{3}\)
* Xét \( \int_{-1}^1 f(-x) \, dx \)
Đặt \( t = -x \Rightarrow dt = -dx\)
\( \begin{cases}
x = -1 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = - 1
\end{cases}\)
\( \int_{-1}^1 f(-x) \, dx = \int_1^{-1} f(t) (-dt) = \int_{-1}^1 f(t) \, dt = \int_{-1}^1 f(x) \, dx \)
\( \Rightarrow \int_{-1}^1 f(x) \, dx = \frac{1}{3} \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)
( Đề tham khảo của Bộ 2017)
Lời giải
\( I = \frac{1}{2} \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \sqrt{2 + 2\cos 2x} \, dx = 6\)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)
page 42
Lời giải
• \( F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln |x - 1| + C \)
• \( F(2) = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
Vậy \( F(x) = \ln |x - 1| + C \)
\( \Rightarrow F(3) = \ln 2 + 1 \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)
page 43
Lời giải
• Theo giả thiết, ta có: \( \int_a^b \sin^4 t \, dt = F(b) - F(a) \)
• Đặt \( t = 3x \Rightarrow dt = 3 \, dx \)
\( \begin{cases}
x = 0\\
x = \frac{\pi}{6}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
t = 0 \\
t = \frac{\pi}{2}
\end{cases} \)
\( \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^4 3x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3} sin^4 t \, dt = \frac{1}{3} \left[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) \right] \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)
page 44
Lời giải
Theo giả thiết, ta có \( \int_a^b \frac{\cos u}{u} \, du = F(b) - F(a) \)
\( \int_2^3 \frac{\cos 3x}{x} \, dx\) \( \Rightarrow \) Đặt \( u = 3x \Rightarrow du = 3 \, dx \)
\( \begin{cases}
x = 2\\
x = 3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
u = 6 \\
u = 9
\end{cases}\)
\( \int_2^3 \frac{\cos 3x}{x} \, dx = \int_6^9 \frac{\cos u}{\frac{u}{3}} \cdot \frac{du}{3} = \int_6^9 \frac{\cos u}{u} \, du = F(9) - F(6) \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)
page 45
Lời giải
Theo giả thiết, ta có: \( \int_a^b \frac{\ln u}{u^2} \, du = F(b) - F(a) \).
Đặt \( u = 3x \Rightarrow du = 3 \, dx \)
\( \begin{cases}
x = 2 \\
x = 5
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
u = 6\\
u = 15
\end{cases}\)
\( \int_2^5 \frac{\ln(3x)}{x^2} \, dx = 9 \int_6^{15} \frac{\ln u}{u^2} \cdot \frac{1}{3} \, du = 3 \int_6^{15} \frac{\ln u}{u^2} \, du\)
\( = 3 \left[ F(15) - F(6) \right] \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)
page 46