Tích phân nâng cao bài tập phần 12

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Tích phân nâng cao bài tập phần 12

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \( f(1 + 2x) + f(1 - 2x) = \frac{x^2}{1 + x^2}, \, \forall x \in \mathbb{R} \). Tính \( I = \int_{-1}^3 f(x) \, dx \).

\(A. I = 2 - \frac{\pi}{2} \quad B. I = 1 - \frac{\pi}{4} \quad C. I = \frac{1}{2}- \frac{\pi}{8} \quad D. I = \frac{\pi}{4}\)

Đáp án:

\(\int_{-1}^1 f(1 + 2x) \, dx + \int_{-1}^1 f(1 - 2x) \, dx = \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(1 + 2x) \, d(1 + 2x) - \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(1 - 2x) \, d(1 - 2x) = \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{-1}^3 f(t) \, dt - \frac{1}{2} \int_{3}^{-1} f(t) \, dt = \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx\)

\(\Rightarrow \int_{-1}^3 f(t) \, dt = \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx = 0.4292036732 \, \rightarrow \boxed{A}.\)

page56

Bài tập: Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) đều có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn: \(f^3(2 - x) - 2f^2(2 + 3x) + x^2 g(x) + 36x = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}.\)

Tính \(A = 3f(2) + 4f'(2).\)

\( A. A = 11 \quad B. A = 13 \quad C. A = 14 \quad D. A = 10\)

Đáp án:

\(x = 0 : f^3(2) - 2f^2(2) = 0 \Rightarrow f^2(2)(f(2) - 2) = 0\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} f(2) = 0 \\ f(2) =2 \end{cases}.\)

Lấy đạo hàm hai vế:

\(-3f'(2 - x)f^2(2 - x) - 12f'(2 + 3x)f(2 + 3x) + 2xg(x) + x^2g'(x) + 36 = 0\)

\(x = 0 \Rightarrow -3f'(2)(f(2))^2 - 12f'(2)f(2) + 36 = 0\)

\(\Rightarrow \) (\( f(2)=0\) loại) \(f(2) =2 \)

\(\Rightarrow -12f'(2) - 24f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1\)

\(\Rightarrow A = 3f(2) + 4f'(2) = 6 + 4 = 10\Rightarrow \boxed{D}\)

page57

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ

Khi đó giá trị của biểu thức \( \int_{0}^{4} f(x - 2) \, dx + \int_{0}^{2} f'(x + 2) \, dx \) là:

A. \(-2 \quad \) B. \(10 \quad \) C. \(2 \quad \) D. \(6\)

Đáp án:

\( I = \int_{0}^{4} f'(x - 2) \, d(x-2) + \int_{0}^{2} f'(x + 2) \, d(x+2) \)

\( = \int_{-2}^{2} f(t) \, dt + \int_{2}^{4} f'(t) \, dt \)

\( = f(2) - f(-2) + f(4) - f(2) \)

\( = f(4) - f(-2) = 4 + 2 = 6 \Rightarrow \boxed{D}\)

page58

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn:
\( \int \frac{f(\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x+1}} \, dx = \frac{2 \left( \sqrt{x + 1} + 3 \right)}{x + 5} + C. \) Tính \( \int f(2x) \, dx \).

A. \( \frac{x + 3}{2(x^2 + 4)} + C \quad \) B. \( \frac{x + 3}{x^2 + 4} + C \quad \) C. \( \frac{2x + 3}{4(x^2 + 1)} + C \quad \) D. \( \frac{2x + 3}{8(x^2 + 1)} + C\)

Đáp án:

\(\int \frac{f(\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x+1}} = 2 \int f(\sqrt{x + 1}) \, d(\sqrt{x + 1}) = \frac{2(\sqrt{x + 1} + 3)}{(\sqrt{x + 1})^2 + 4}. \)

\( \Rightarrow \int f(x) \, dx = \frac{x + 3}{x^2 + 4} + C. \)

\( \int f(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int f(x) \, d(2x) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x + 3}{4x^2 + 4} \right) + C. \)

\( = \frac{2x + 3}{8(x^2 + 1)} + C \quad \Rightarrow \boxed{D}. \)

page59

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \( f(1) = 1 \), \( f(2) = 4 \). Tính \( I = \int_{1}^{2} \left( \frac{f'(x) + 2}{x} - \frac{f(x) + 1}{x^2} \right) dx \).

A. \( I = \ln 2 - \frac{1}{2} \quad \) B. \( I = 1 + \ln 4 \quad \) C. \( I = \frac{1}{2} + \ln 4 \quad \) D. \( I = 4 - \ln 2 \).

Đáp án:

\( I = 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1}^{2} \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} dx \)

\( = 2 \ln x \big|_{1}^{2} + \frac{1}{x} \big|_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \left( \frac{f(x)}{x} \right)' dx \)

\( = 2 \ln 2 + \left( \frac{1}{2} - 1 \right) + \left( \frac{f(x)}{x} \right) \big|_{1}^{2} \)

\( = 2 \ln 2 - \frac{1}{2} + \left( \frac{4}{2} - 1 \right) = 2 \ln 2 + \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{C} \)

page60