Tích phân nâng cao bài tập phần 4

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Tích phân nâng cao bài tập phần 4

Làm thêm:

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \([0, 1]\) thỏa mãn: \( f(0) = 1, \quad \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx = \frac{1}{30}, \quad \int_0^1 (2x - 1) f(x) dx = -\frac{1}{30} \). Tính \( \int_0^1 f(x) dx \).

\( \text{A. } \frac{11}{4}, \quad \text{B. } \frac{1}{30}, \quad \text{C. } \frac{11}{12}, \quad \text{D. } \frac{11}{30}. \)

page16

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \([0, 1]\) thỏa mãn: \( f(1) - f(0) = 3, \quad \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx = 9, \quad f(2) = 6\). Tính: \( I = \int_0^1 \left( f(x) \right)^4 dx. \)

\( \text{A. } \frac{61}{5}, \quad \text{B. } \frac{43}{5}, \quad \text{C. } \frac{81}{5}, \quad \text{D. } \frac{72}{5}. \)

Đáp án:

\( f(1) - f(0) = 3 \implies \int_0^1 f'(x) dx = 3. \)

Tìm \( k \) để: \( \int_0^1 \left[ f'(x) - k \right]^2 dx = C. \)

\( \Leftrightarrow \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx - 2k \int_0^1 f'(x) dx + k^2 \int_0^1 dx = 0. \)
\( \Leftrightarrow 9 - 6k + k^2 = 0 \implies k = 3. \)

Suy ra: \( f'(x) = 3 \implies f(x) = 3x + C. \)
\( f(1) - f(0) = 3 \Leftrightarrow 3 - C + C = 3. \)

\( f(2) = 6 \implies C = 0 \)

\( \implies f(x) = 3x \implies (f(x))^4 = 81x^4\)

\( I = \int_0^1(f(x) x)^4 dx = \frac{81x^5}{5} \big|_0^1 = \frac{81}{5} \implies \boxed{C} \)

page17

Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0, 1]\), thỏa mãn: \( f(1) = 0, \quad \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx = 7, \quad \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{1}{3} \). Tính: \( \int_0^1 f(x) dx. \)

\( \text{A. } \frac{7}{5}, \quad \text{B. } 1, \quad \text{C. } \frac{7}{4}, \quad \text{D. } 4. \)

(Đề tham khảo 2018 câu 50)

Đáp án:

Xét: \( \int_0^1 x^2 f(x) dx. \)

Đặt:\(
\begin{cases}
u = f(x) \\
dv = x^2 dx
\end{cases} \implies \begin{cases} du = f'(x) dx \\ v = \frac{x^3}{3} \end{cases}\)

\( \frac{1}{3} = \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{x^3}{3} f(x) \big|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^3}{3} f'(x) dx. \)

\( \implies \int_0^1 \frac{x^3}{3} f'(x) dx = -1. \)

Tìm \( k \) sao cho:
\( \int_0^1 \left[ f'(x) - kx^3 \right]^2 dx = 0 \Leftrightarrow \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx - 2k \int_0^1 x^3 f'(x) dx + k^2 \int_0^1 x^6 dx = 0. \)

\( \Leftrightarrow 7 + 2k + \frac{k^2}{7} = 0 \Leftrightarrow k^2 + 14k + 49 = 0 \Leftrightarrow k = -7. \)

Suy ra: \( f'(x) = kx^3 = -7x^3 \implies f(x) = -\frac{7x^4}{4} + C. \)

\( f(1) = 0 \implies C = \frac{7}{4} \)

\( f(x) = -\frac{7}{4}x^4 + \frac{7}{4} \implies \int_0^1 f(x) dx = \frac{7}{5} \implies \boxed{A} \)

page18

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \([0, 1]\), thỏa mãn: \( \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx = \frac{9}{5}, \quad \int_0^1 x^2 f'(x) dx = \frac{3}{5}, \quad f(1) = 0 \). Tính: \( I = \int_0^1 f(x) dx. \)

\( \text{A. } \frac{5}{4}, \quad \text{B. } \frac{1}{4}, \quad \text{C. } \frac{3}{4}, \quad \text{D. } \frac{7}{4}. \)

Đáp án:

Xét: \( \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx - 6 \int_0^1 x^2 f'(x) dx + \int_0^1 9x^4 dx. \)

\( = \frac{9}{5} - \frac{18}{5}+\frac{9x^5}{5}|_0^1 =0 \)

\( \implies \int_0^1 \left( f'(x) - 3x^2 \right)^2 dx = 0 \implies f'(x) = 3x^2 \implies f(x) = x^3 + C. \)

\( f(1) = 0 \implies C = \):
\( I = \int_0^1 x^3 dx = \frac{x^4}{4}|_0^1 = \frac{1}{4} \implies \boxed{B}\)

Giảng: Tìm \( k \) để:
\( \int_0^1 \left( f'(x) - kx^2 \right)^2 dx = 0 \Leftrightarrow \int_0^1 \left( f'(x) \right)^2 dx - 2k \int_0^1 x^2 f'(x) dx + k^2 \int_0^1 x^4 dx = 0. \)

\( \frac{9}{5} - 2k \frac{3}{5} + \frac{k^2}{5} = 0 \Leftrightarrow k^2 - 6k + 9 = 0 \Leftrightarrow k = 3. \)

page19

Làm thêm: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \([0, 1]\) thỏa \( f(1) = 0 \), \( \int_{0}^{1} \big(f'(x)\big)^2 \, dx = \frac{16}{7} \), \( \int_{0}^{1} x^3 f'(x) \, dx = \frac{4}{7} \). Tính \( I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \).

A. \( I = \frac{3}{5} \quad \), B. \( I = \frac{1}{5} \quad \), C. \( I = \frac{1}{4} \quad \), D. \( I = \frac{1}{3} \).

Đáp án:

\( \int_{0}^{1} \Big( f'(x) - 4x^3 \Big)^2 \, dx = 0 \implies f'(x) = 4x^3 ...... \)

page20