Tích phân nâng cao bài tập phần 5

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Tích phân nâng cao bài tập phần 5

Làm thêm: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \([1, 2]\) và thỏa mãn: \( f(2) = 0 \), \( \int_{1}^{2} (f'(x))^2 \, dx = \frac{5}{12} + \ln{\frac{2}{3}} \) và \( \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{(x+1)^2} \, dx = -\frac{5}{12} + \ln{\frac{3}{2}} \). Tính \( I = \int_{1}^{2} f(x) \, dx \).

\( \text{A. } \frac{3}{4} + 2 \ln{\frac{2}{3}} \quad\) \( \text{B. } \ln{\frac{3}{2}} \quad \) \( \text{C. } \frac{3}{4} - 2 \ln{\frac{3}{2}} \quad \) \( \text{D. } \frac{3}{4} + 2 \ln{\frac{3}{2}} \).

page21

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm cấp hai trên \([0, 2]\), \( f(x) > 0, \, \forall x > 0 \), và: \( (f(x))^2 - f(x) \cdot f''(x) + (f'(x))^2 = 0, \quad \forall x \in [0, 2] \). Biết rằng: \( f(0) = 1 \), \( f(2) = e^6 \). Tính \( f(1) \).

\( \text{A. } e^2 \quad \) \( \text{B. } e^{\frac{3}{2}}\quad \) \( \text{C. } e^3\quad \) \( \text{D. } e^{\frac{5}{2}} \)

Đáp án:

Vì: \( \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = \frac{f''(x) f(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} \).

Nên: \( (f(x))^2 - f(x) \cdot f''(x) + (f'(x))^2 = 0 \).

\( \Leftrightarrow\frac{f''(x) f(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = 1 \).

\( \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = x + c \quad \Rightarrow \quad \ln|{f(x)}| = \frac{x^2}{2} + cx + d \).

\( f(0) = 1 \Rightarrow d = 0 \).
\( f(2) = e^6 \Rightarrow 6 = 2 + 2c \quad \Rightarrow \quad c = 2 \).

\(\Rightarrow \ln{f(x)} = \frac{x^2}{2} + 2x \).

\(\Rightarrow \ln{f(1)} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad f(1) = e^{\frac{5}{2}} \Rightarrow \boxed{\text{D}} \)

page22

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( (0, +\infty) \), thỏa mãn: \( f'(x) + \frac{f(x)}{x} = 4x^2 + 3x, \text{ và } f(1) = 2 \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm có hoành độ \( x = 2 \) là:

\( \text{A. } y = 16x + 20 \quad \) \( \text{B. } y = -16x + 20 \quad \) \( \text{C. } y = -16x - 20 \quad \) \( \text{D. } y = 16x - 20 \).

Đáp án:

\( f'(x) + \frac{f(x)}{x} = 4x^2 + 3x \Leftrightarrow \quad x f'(x) + f(x) = 4x^3 + 3x^2 \).

\( \Leftrightarrow (x f(x))' = 4x^3 + 3x^2 \quad \Rightarrow \quad x f(x) = x^4 + x^3 + C \).

\( f(1) = 2 \Rightarrow \quad C = 0 \).

\( \Rightarrow f(x) = x^3 + x^2 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 2x \).

\( y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 16(x - 2) + 12 \Leftrightarrow \quad y = 16x - 20\Rightarrow \boxed{\text{D}} \)

page23

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \), với: \( f'(x) = (2x + 3)e^{-f(x)}, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(0) = \ln 2 \). Tính: \( \int_{1}^{2} f(x) \, dx \).

\( \text{A. } 2 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{B. } -2 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{C. } -3 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{D. } 3 + 6 \ln 2 \).

Đáp án:

\( f'(x) = (2x + 3)e^{-f(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f'(x) \cdot e^{f(x)} = 2x + 3 \).

Gợi ý: \( \int f'(x) e^{f(x)} \, dx = e^{f(x)} + C \)

\( \Rightarrow \int f'(x) e^{f(x)} \, dx = x^2 + 3x + C \).

\( \Rightarrow e^{f(x)} = x^2 + 3x + C \).

\(\Rightarrow f(0) = \ln 2 \Leftrightarrow C = 2 \).

\( \Rightarrow e^{f(x)} = x^2 + 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2) \).

\( \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} \ln(x^2 + 3x + 2) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = -2 + 6 \ln 2 \Rightarrow \boxed{\text{ B}} \).

page24

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn: \( f'(x) + 2x f(x) = 2x e^{x^2} \) với \( f(0) = 1 \). Tính \( f(1) \).

A. \( e \quad \) B. \( \frac{1}{e} \quad \), C. \( \frac{2}{e} \quad \), D. \( - \frac{2}{e} \).

Đáp án:

\( f'(x) + 2x f(x) = 2x e^{-x^2} \Leftrightarrow e^{x^2} f'(x) + 2x e^{x^2} f(x) = 2x \).

(Gợi ý: \( \left((e^{x^2} f(x))' = 2x e^{x^2} f(x) + e^{x^2} f'(x) \right) \)):

\( \Rightarrow \left(e^{x^2} f(x) \right)' = 2x \).

\( \Rightarrow e^{x^2} f(x) = x^2 + C \).

\( f(0) = 1 \Rightarrow \quad C = 1 \).

\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{e^{x^2}} \Rightarrow f(1) = \frac{2}{e}\Rightarrow \boxed{C} \).

page25