Điều kiện: \(x\geq 0\)
(Bấm nghiệm \(x = 2\) và nhận biết hàm \(f\) đồng biến)
Xét \(f(x) = \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x} + x\)
\(\Rightarrow \) Hàm \( f\) đồng biến trên \(D_f = [0, +\infty)\)
(*) \(\iff f(x) = f(2) \iff x = 2 \) (thỏa điều kiện)
1/ Tổng của 2 hàm đồng biến là một hàm đồng biến. Tổng của 2 hàm nghịch biến là một hàm nghịch biến.
2/ Hợp của 2 hàm đồng biến là một hàm đồng biến.
Hợp của 2 hàm nghịch biến là một hàm đồng biến.
Hợp của 1 hàm đồng biến và 1 hàm nghịch biến là một hàm nghịch biến.
3/ Nếu \(y = f(x)\) là hàm đồng biến thì \(y = -f(x)\) là hàm nghịch biến.
4/ Nghịch đảo của một hàm đồng biến là hàm nghịch biến. Nghịch đảo của một hàm nghịch biến là hàm đồng biến.
Ví dụ cho từng mục:
1) \(y = x^3 + 2x - 1\): đồng biến
2) a) \(y = \sqrt{3x - 1} \): đồng biến
b) \(y = \sqrt{1 - 2x}\): nghịch biến
c) \(y=2x + 3 + \sqrt{2 + x}\): đồng biến
d) \(y=-x + \sqrt{1 - 3x}\): nghịch biến
3) \(y = \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 2} - \sqrt{6 - x}\) là hàm đồng biến.
4) \(y = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} - 3x + 2\) là hàm nghịch biến
page 41
Làm thêm: Giải các phương trình
a)\(\sqrt{3x - 5} + \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{12 - x}\) (Gợi ý: x = 3)
b) \(x^2 + 3x + \sqrt{x - 1} = 9 + \sqrt{6 - x}\) (Gợi ý: x = 2)
page 42
Cho \(f(t) = \sqrt{t} + \sqrt{t + 2}\)
- \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 3} = f(?) \) ( \(f(x+1)\))
- \( \sqrt{x^2 - x - 3} + \sqrt{x^2 - x - 1} = f(?)\)
Cho \(f(t) = t^3 + t\)
- \(2x \sqrt{2x - 1} = f(?)\)
\(2x \sqrt{2x - 1} = (2x - 1 + 1)\sqrt{2x - 1} \)
\(= (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + \sqrt{2x - 1} = (\sqrt{2x - 1})^3 + \sqrt{2x - 1} \)
\(= f(\sqrt{2x - 1})\)
- \(x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = f(?)\) \(\)
\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
\( x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = (x + 1)^3 + x + 1 = f(x + 1)\)
Cho \(f(t) =t\sqrt{t^2 + 1}\)
- \( (x + 1) \sqrt{x^2 +2x + 2} = f(?)\)
\( (x + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 2} = (x + 1) \sqrt{(x + 1)^2 + 1} = f(x + 1) \)
- \(\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 4} = f(?)\)
\(\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 4} = \sqrt{x + 3} \sqrt{ (\sqrt{x + 3})^2 + 1} = f(\sqrt{x + 3}) \)
page 43
page 44