Tính đơn điệu của hàm số - Bài tập phần 7

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Nếu hàm số \(y = f(x)\) đơn điệu trong (a, b) thì: \(\forall u, v \in (a, b), f(u) = f(v) \iff u = v\)

 

Giải pt: \(\sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x} + x = 7 \quad (x \geq 0)\) (*)

Điều kiện: \(x\geq 0\)

(Bấm nghiệm \(x = 2\) và nhận biết hàm \(f\) đồng biến)

Xét \(f(x) = \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{2x} + x\)

  • \(D_f = [0, +∞)\)
  •  \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + 1 > 0, ∀x ∈ (0, +∞)\)

\(\Rightarrow \) Hàm \( f\) đồng biến trên \(D_f = [0, +\infty)\)

(*) \(\iff  f(x) = f(2) \iff x = 2 \) (thỏa điều kiện)

Đặc biệt: Nếu hàm số \(y = f(x)\) đơn điệu trên \(D_f \) thì \(\forall u, a \in D_f: f(u) = f(a) \iff u = a\)

 


Một cách nhận biết nhanh về tính đơn điệu của hàm số

1/ Tổng của 2 hàm đồng biến là một hàm đồng biến. Tổng của 2 hàm nghịch biến là một hàm nghịch biến.

2/ Hợp của 2 hàm đồng biến là một hàm đồng biến.

Hợp của 2 hàm nghịch biến là một hàm đồng biến.

Hợp của 1 hàm đồng biến và 1 hàm nghịch biến là một hàm nghịch biến.

3/ Nếu \(y = f(x)\) là hàm đồng biến thì \(y = -f(x)\) là hàm nghịch biến.

4/ Nghịch đảo của một hàm đồng biến là hàm nghịch biến. Nghịch đảo của một hàm nghịch biến là hàm đồng biến.

Ví dụ cho từng mục:

1) \(y = x^3 + 2x - 1\): đồng biến

2) a) \(y = \sqrt{3x - 1} \): đồng biến

   b) \(y = \sqrt{1 - 2x}\): nghịch biến

   c) \(y=2x + 3 + \sqrt{2 + x}\): đồng biến

   d) \(y=-x + \sqrt{1 - 3x}\): nghịch biến

3) \(y = \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 2} - \sqrt{6 - x}\) là hàm đồng biến.

4) \(y = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} - 3x + 2\) là hàm nghịch biến

page 41


Giải phương trình: \(x^3 + x - \sqrt{1 - 3x} = -4\)  (*)

Gợi ý và hướng dẫn

Làm thêm: Giải các phương trình

a)\(\sqrt{3x - 5} + \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{12 - x}\) (Gợi ý: x = 3)

b) \(x^2 + 3x + \sqrt{x - 1} = 9 + \sqrt{6 - x}\) (Gợi ý: x = 2)

page 42



Luyện nhìn hàm hợp

Cho \(f(t) = \sqrt{t} + \sqrt{t + 2}\)

  • \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 3} = f(?) \)   ( \(f(x+1)\))
  •  \( \sqrt{x^2 - x - 3} + \sqrt{x^2 - x - 1} = f(?)\)

Cho \(f(t) = t^3 + t\)

  • \(2x \sqrt{2x - 1} = f(?)\)

\(2x \sqrt{2x - 1} = (2x - 1 + 1)\sqrt{2x - 1} \)

\(= (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + \sqrt{2x - 1} = (\sqrt{2x - 1})^3 + \sqrt{2x - 1} \)

\(= f(\sqrt{2x - 1})\)

  • \(x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = f(?)\) \(\)

\( (x + 1)^3 = x^3 +  3x^2 + 3x + 1 \)

\( x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = (x + 1)^3 + x + 1 = f(x + 1)\)

Cho \(f(t) =t\sqrt{t^2 + 1}\)

  • \( (x + 1) \sqrt{x^2 +2x + 2} = f(?)\)

\( (x + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 2} = (x + 1) \sqrt{(x + 1)^2 + 1} = f(x + 1) \)

  • \(\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 4} = f(?)\)

\(\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 4} = \sqrt{x + 3} \sqrt{ (\sqrt{x + 3})^2 + 1} = f(\sqrt{x + 3}) \)

page 43


Giải phương trình: \( \sqrt{x^2 + x - 1} - \sqrt{4x- 3} = \sqrt{4x - 1} - \sqrt{x^2 + x + 1} \)

Gợi ý và hướng dẫn:

 

page 44