Tính đơn điệu của hàm số - Lý thuyết và ví dụ
Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trong \( (a,b)\)
- Hàm số \( y = f(x)\) đồng biến trong \((a,b) \) khi
\( \forall x_1, x_2 \in (a,b): x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \)
- Hàm số \( y = f(x)\) nghịch biến trong \( (a,b) \) khi
\( \forall x_1, x_2 \in (a,b): x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \)\(\)
Định lý 1: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trong \((a,b)\)
a) Nếu \( f'(x) > 0, \forall x \in (a,b) \) thì hàm \(f \) đồng biến trong \( (a,b)\)
b) Nếu \( f'(x) < 0, \forall x \in (a,b) \) thì hàm \( f \) nghịch biến trong \( (a,b) \)
- Hàm số có tập xác định \( D = \mathbb{R} \)
- Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 2x - 1 \)
- Đây là một tam thức bậc hai, có 2 nghiệm phân biệt là \( x_1 = 1 \text{ và } x_2 = -\frac{1}{3} \)
page 1
Nhắc lại: Dấu của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c, a \neq 0 \)
a) Nếu tam thức có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2 (x_1<x_2)\) thì trong khoảng 2 nghiệm \( (x_1, x_2)\) tam thức có dấu trái với dấu của hệ số \(a\), và ngoài khoảng 2 nghiệm: \(( -\infty, x_1), (x_2, +\infty) \) tam thức có dấu cùng dấu với dấu của hệ số \( a\) (khi này biệt thức của tam thức \(\Delta > 0\)).
b) Nếu tam thức có nghiệm kép \(x_0\) (khi này biệt thức \(\Delta = 0\)) thì tam thức luôn cùng dấu với dấu của hệ số \(a\), chỉ bằng 0 tại nghiệm kép \(x_0\).
c) Nếu tam thức vô nghiệm (khi này biệt thức \(\Delta < 0\)) thì tam thức luôn cùng dấu với dấu của hệ số \( a\).
Trở lại với ví dụ 1. Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = x^3 - x^2 - x + 1\)
\(\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -\frac{1}{3} & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array} \)
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta có kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trong các khoảng \((-\infty, -\frac{1}{3}), (1, +\infty)\) và nghịch biến trong khoảng \((-\frac{1}{3}, 1)\)\(\).
page 2
Định lý 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trong \((a,b)\)
a) Nếu \( f'(x) \geq 0, \forall x \in (a,b)\), trong đó dấu bằng có thể xảy ra tại một số điểm thì hàm \(f\) đồng biến trong \((a,b)\)
b) Nếu \( f'(x) \leq 0, \forall x \in (a,b)\), trong đó dấu bằng có thể xảy ra tại một số điểm thì hàm \( f\) nghịch biến trong \((a,b)\)
Trở lại với ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số \(y = x^3\)
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
- Đạo hàm: \( y' = 3x^2 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \)
- Bảng biến thiên:
Hàm số \(y = x^3\) đồng biến trong \((-\infty, +\infty)\).
a) \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x - 3 \)
- \( y' = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \), có \( \Delta = 0 \)
b) \( y = x^3 + x^2 + x - 2 \)
- \( y' = 3x^2 + 2x + 1 \), có \( \Delta < 0 \)
c) \( y= \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - 7x + 2 \)
- \( y' = x^2 - 6x - 7 = (x+1)(x-7) \), có \( \Delta > 0 \)
page 3
- Tập xác định, \(D = \mathbb{R}\)
- Đạo hàm \(y' = -2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \)
- Đây là một nhị thức bậc nhất
Nhắc lại: Dấu của nhị thức bậc nhất \(f(x) = ax + b, a \neq 0\)
Nhị thức bậc nhất luôn có 1 nghiệm: \(x = -b/a\)
Dấu của nhị thức bậc nhất:
+ Vùng lớn hơn nghiệm số: \((-b/a, +\infty) \) thì cùng dấu với dấu của hệ số \(a\).
+ Vùng nhỏ hơn nghiệm số: \((-\infty, -b/a)\) thì trái dấu với dấu của hệ số \(a\).
Trở lại với ví dụ 4. Bảng biến thiên của hàm số \(y = -x^2 + 2x + 1\)
\(\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - \\ \hline y & & \nearrow & & \searrow \end{array}\)
page 4
Dấu của một đa thức
- Nghiệm của đa thức \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\) là giá trị \(x_0\) sao cho \(f(x_0) = 0\).
- Đa thức \(f(x) = (x - a)^n\) có \( x = a\) là nghiệm bội n.
Ví dụ: Đa thức \(f(x) = (x - 1)(x - 2)^3\) có \(x = 1\) là nghiệm đơn (bội 1), \(x = 2\) là nghiệm bội 3.
- Một đa thức \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\) chỉ đổi dấu tại các nghiệm bội lẻ, tại các nghiệm bội chẵn đa thức không đổi dấu.
- Do đó muốn biết dấu của một đa thức chỉ cần xác định dấu của đa thức trong một khoảng giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức, sau đó suy ra dấu của tất cả các khoảng còn lại dựa vào số bội chẵn hay lẻ của các nghiệm của đa thức.
- Nếu \(x = 0\) không phải là nghiệm của đa thức \(f(x)\) thì có thể xác định dấu của khoảng nghiệm có chứa \(x = 0\) bằng cách tính \(f(0)\). Dấu của khoảng này là dấu của \(f(0)\).
- Nếu \(x = 0\) là một nghiệm của đa thức \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\) thì có thể dựa vào tính chất sau: Dấu của đa thức \(f(x)\) ở vùng sau cùng (vùng từ nghiệm lớn nhất của \(f(x)\) đến \(+\infty\)) luôn cùng dấu với hệ số cao nhất \(a_n\).
page 5
Ví dụ: Đa thức \(f(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x - 2)^3(x - 4)^5\) có bảng xét dấu như sau:
\(\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -2 & & 1 & & 2 & & 4 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array}\)
( Vì \(f(0) = 2(-2)^3(-4)^5 > 0 \) )
Hướng dẫn:
- Bấm máy tính tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\), phương trình có 2 nghiệm \(x = 1 \vee x = -2\).
- Trong 2 nghiệm này phải có một nghiệm là nghiệm kép (nghiệm bội 2).
- Như vậy: \(f'(x) = 4(x - 1)(x + 2)^2\) hay \( f'(x) = 4(x - 1)^2(x + 2)\) ?
Hãy để ý đến hệ số tự do của \(f'(x)\). Hệ số tự do của \(f'(x)\) là 8.
\(f'(x) = 4(x - 1)(x + 2)^2\) có hệ số tự do là \(4(-1)(2)^2 = -16\)
\(f'(x) = 4(x - 1)^2(x + 2)\) có hệ số tự do là \(4(-1)^2(2) = 8\)
Vậy \(f'(x) = 4(x - 1)^2(x + 2)\).
page 6
Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^3, \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
\( \text{A. } (-\infty, +\infty) \quad \text{B. } (-\infty, 1) \)
\( \text{C. } (0, +\infty) \quad \text{D. }(-\infty, 0) \)
(Đề thi TNPT 2023)
Lời giải: Bảng xét dấu của \(f'(x)\)
\(\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & & \nearrow \\ \end{array}\)
Vậy chọn \(\boxed{D}\).
Làm thêm: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x + 1, \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\( \text{A. } (-\infty, -1) \quad \text{B. } (-\infty, 1) \)
\( \text{C. } (1, +\infty) \quad \text{D. }(-1, +\infty) \)
(Đề thi TNPT 2022)
page 7
Ví dụ: Hàm số \(y = x^4 - 2x^2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\( \text{A. } (1, +\infty) \quad \text{B. } (-\infty, -1) \)
\( \text{C. } (-1,0) \quad \text{D. }(-\infty, 1) \)
(Đề thi TNPT 2023)
Lời giải:
\(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( \iff x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \)
Bảng biến thiên:
\(\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}\)
Vậy chọn \(\boxed{B}\).
page 8
Nhắc lại: Quy tắc đạo hàm của thương \(\frac{u}{v}\) :
\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Để tính đạo hàm của hàm số đã cho, có thể dùng quy tắc đạo hàm của thương hoặc dùng công thức đạo hàm nhanh như sau:
\[\left( \frac{ax + b}{cx + d} \right)' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}{(cx + d)^2} \]
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\)
- \(y' = \frac{-6 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2} < 0, \quad \forall x \ne 3 \)
- Bảng biến thiên
\(\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 3 & +\infty \\ \hline y' & - & || & - \\ \hline y & \searrow & || & \searrow \\ \end{array}\)
(Hai gạch song song dưới giá trị 3 để chỉ hàm số không xác định tại \(x=3\)).
page 9
Ví dụ: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{x + 2}{x + m} \)đồng biến trên khoảng \((-\infty, -5) \).
\(\text{A. }(2, 5] \quad \quad \text{B. }[2, 5) \)
\(\text{C. }(2, +\infty) \quad \quad \text{D. }(2, 5) \)
(Đề thi TNPT 2020)
Lời giải:
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}\)
- \(y' = \frac{m - 2}{(x + m)^2}\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty, -5) \) \(\)
\( \begin{aligned} \iff &\begin{cases} (m-2) > 0 \\ -m \notin (-\infty, -5) \end{cases} \\ \iff &\begin{cases} m > 2 \\ -m \geq -5 \end{cases} \\ \iff & \begin{cases} m > 2 \\ m \leq 5 \end{cases} \\ \end{aligned} \)
Vậy chọn \(\boxed{A}\).
Bài tập: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{x + 2}{(x + 5m)}\) đồng biến trên khoảng \((-\infty, -10) \)?
A. 2 B. Vô số
C. 1 D. 3
(Đề thi TNPT 2018)
page 10
- \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
- Để tìm đạo hàm của hàm số đã cho, có thể dùng quy tắc đạo hàm của thương, hoặc áp dụng công thức đạo hàm nhanh như sau:
\((\frac{ax^2 + bx + c}{a_1x + b_1})' \\ = \frac{aa_1x^2 + 2ab_1x + bb_1 - a_1c}{(a_1x + b_1)^2} \\ = \frac{aa_1x^2 + 2ab_1x + \begin{vmatrix} b & c \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix}}{(a_1x + b_1)^2} \)
- Đạo hàm:
\(y' = \frac{-x^2 + 4x}{(-x+2)^2} = 0 \)
\(\iff -x^2 + 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0 \text{ hoặc } x = 4 \)
- Bảng biến thiên:
\(\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & 0 & & 2 & & 4 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & || & + & 0 & - \\ \hline y & & \searrow & & \nearrow & || & \nearrow & & \searrow \\ \end{array}\)
page 11
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x)\) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-4), \forall x \in \mathbb{R} \) . Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\text{A. } f(4) > f(0) \quad \quad \text{B. } f(0) > f(2) \)
\(\text{C. } f(5) > f(6) \quad \quad \text{D. } f(4) > f(2) \)
(Đề thi TNPT 2023 câu 33 Mã 401)
Từ giả thiết \( f'(x) = x(x-4)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) như sau:
\(\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & 0 & & 4 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \nearrow & \ & \searrow & & \nearrow \\ \end{array}\)
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trong \( (-\infty, 0) \) và \((4, +\infty)\), nghịch biến trong \((0, 4)\). Vậy chọn \(\boxed{B}\).
page 11a
- Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(-x^2 + 2x \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2 \)
- \(D = [0, 2]\)
Nhắc lại: \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
- Đạo hàm:
\(y' = \frac{-2x + 2}{2\sqrt{-x^2 + 2x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \)
- \(\)Bảng biến thiên:
\(\begin{array}{c|ccccc} x & & 0 & & 1 & & 2 & \\ \hline y' & //// & || & + & 0 & - & || & //// \\ \hline y & //// & | & \nearrow & & \searrow & | & //// \\ \end{array}\)
page 12
- Hàm số xác định khi và chỉ khi
\(\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ 5 - x \geq 0 \end{cases}\)
\( \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq 5 \end{cases} \)
\( \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 5\)
- Đạo hàm:
\(y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} = \frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{x - 1}}{2\sqrt{(x - 1)(5-x)}} \)
- \( y' > 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{5 - x} - \sqrt{x - 1} > 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{5 - x} > \sqrt{x - 1} \\ \Leftrightarrow 5 - x > x - 1 \\ \Leftrightarrow x < 3 \)
- \( y' = 0 \Leftrightarrow x=3\)
- Bảng biến thiên:
\(\begin{array}{c|ccccc} x & & 1 & & 3 & & 5 & \\ \hline y' & //// & || & + & 0 & - & || & //// \\ \hline y & //// & | & \nearrow & & \searrow & | & //// \\ \end{array}\)
page 13
- Đặt \(f(x) = x^2 - 2x - 3\)
- \(h(x) = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{nếu } f(x) \geq 0 \\ -f(x), & \text{nếu } f(x) < 0 \end{cases} (*)\)
- Gọi \((C) \) là đồ thị của hàm số \(y = f(x)\), \((C') \) là đồ thị của hàm số \(y = h(x)\).
- Từ (*) suy ra:
- Phần đồ thị \((C) \) nằm phía trên trục hoành (\(f(x) \geq 0\)) thì trùng với \((C')\)
- Phần đồ thị \((C)\) nằm phía dưới trục hoành (\(f(x) < 0\)) đối xứng với \((C')\) qua trục hoành
- Đồ thị \((C) \) của hàm số \(y = f(x) = x^2 - 2x - 3\) là một parabol có đỉnh \(S(1, -4)\) cắt trục hoành tại \(x = -1\) và \(x = 3\)
- Từ đó suy ra đồ thị của hàm số \( y = h(x)= |f(x)|\) như sau:
- Từ đồ thị của hàm số \(y = h(x)\) suy ra: Hàm số \(y = h(x)\) nghịch biến trong \( (-\infty, -1) \cup (1, 3)\), đồng biến trong \((-1, 1) \cup (3, +\infty)\).
page 14
- \(D = \mathbb{R} \)
- \( y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 4 & \text{nếu } x \geq -1 \\ -x^2 - 4x - 4 & \text{nếu } x < -1 \end{cases} \\ \Rightarrow y' = \begin{cases} -2x + 4 & \text{nếu } x \geq -1 \\ -2x - 4 & \text{nếu } x < -1 \end{cases} \)
- Bảng biến thiên:
\(\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -2 & & -1 & & 2 & & +\infty \\ \hline y' & & + & 0 & - & || & + & 0 & - \\ \hline y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow \\ \end{array} \)
page 15