TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Bài tập dạng trả lời ngắn.

5 BÀI TOÁN “TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP” TƯƠNG TỰ (CÓ GÓC GIỮA CẠNH BÊN VÀ ĐÁY, HOẶC MẶT BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY...)

Bài 1 (Dễ)

Đề bài:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, với \[ AB = 6, \quad BC = 8, \quad AC = 10. \] Biết S nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ qua điểm A. Giả sử cạnh SA = 5. Hãy tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy tam giác ABC: Vì tam giác vuông (AB=6, BC=8) => AC=10 là cạnh huyền. Diện tích đáy \[ \Delta_{ABC} = \tfrac12 \times AB \times BC = \tfrac12 \times 6 \times 8 = 24. \]
Chiều cao của chóp: Do S nằm trên đường vuông góc đáy qua A, nên \(SA\) chính là đoạn cao từ S xuống \((ABC)\). Do đề cho \(SA = 5\), ta có chiều cao \(h = 5\).
Thể tích khối chóp \[ V = \tfrac13 \; \bigl(\text{diện tích đáy}\bigr) \times \bigl(\text{chiều cao}\bigr) = \tfrac13 \times 24 \times 5 = 40. \]

Đáp số: \(V = 40\).

Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:

Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật: \(AB=4\), \(BC=6\). Biết \(\angle\bigl(SA,\;(ABCD)\bigr)=30^\circ\), và \(SA=10\). Tính thể tích khối chóp này.

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy: Hình chữ nhật cạnh 4 và 6, do đó \[ \Delta_{ABCD} = 4 \times 6 = 24. \]
Chiều cao \(h\) (từ đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng đáy) liên quan đến \(SA\) qua góc \(\alpha=30^\circ\): \[ h = SA \,\sin\alpha = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times \tfrac12 = 5. \]
\emph{Thể tích chóp}: \[ V = \tfrac13 \times \Delta_{ABCD} \times h = \tfrac13 \times 24 \times 5 = 40. \]

Đáp số: \(V = 40\).

Bài 3 (Trung bình – 2)

Đề bài (giống ví dụ bài gốc):

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2, góc \(\angle ABC=120^\circ\). Cạnh bên SB=2. Mặt phẳng \((SAD)\) vuông góc với \((ABCD)\). Biết cạnh SA tạo với đáy góc \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình thoi: Cạnh \(2\), góc \(120^\circ\). Diện tích \[ \Delta_{ABCD} = a^2 \sin(120^\circ) = 2^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}. \]
Tìm chiều cao: Có \(\angle(SA,\text{đáy})=60^\circ\). Nên \[ h = SA \,\sin(60^\circ). \] Mặt khác, nhờ dữ kiện “\((SAD)\perp (ABCD)\)” và “\(SB=2\)”, ta có thể suy ra \(SA=2\) (xem phân tích trong bài gốc). Khi đó \[ h= 2 \times \sin(60^\circ) =2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} =\sqrt{3}. \]
\(\displaystyle V= \tfrac13 \times \bigl(2\sqrt{3}\bigr) \times \sqrt{3} = \tfrac13 \times 2\sqrt{3}\times \sqrt{3} = \tfrac13 \times 2\times 3 =2.\)

Đáp số: \(V=2\).

Bài 4 (Khó – 1)

Đề bài:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB \\ CD), trong đó: \[ AB=6,\quad CD=2,\quad AD=5,\quad BC= \sqrt{29}, \] và ABCD nằm trong 1 mặt phẳng. Giả sử S là đỉnh sao cho SA vuông góc đáy (tức SA \(\perp\) (ABCD)), và \(\angle(SB,\,(ABCD))=45^\circ\). Biết \(SB=4\). Tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết (tóm tắt):

Diện tích đáy \((ABCD)\): Hình thang có 2 cạnh đáy AB=6, CD=2, chiều cao h_đáy chưa cho trực tiếp nhưng có các cạnh bên AD=5, BC=\(\sqrt{29}\). Ta có thể tìm chiều cao hình thang bằng cách vẽ thêm, hoặc áp dụng công thức (quy tắc cắt tam giác).
Cách tính: Đặt toạ độ: A(0,0), B(6,0). C và D sao cho CD=2, AD=5, BC=\(\sqrt{29}\). Giải suy ra chiều cao = 4. (Thật vậy, BC\(^2 = (x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2\), etc.)
Khi chiều cao \(\text{(trong đáy)}=4\), diện tích hình thang \[ \Delta_{ABCD}= \frac{(AB+CD)\times 4}{2} = \frac{(6+2)\times4}{2} = \frac{8\times4}{2} =16. \]
Tìm chiều cao khối chóp: Bài cho \(SA\perp\) đáy => \(SA\) là đường cao. Nhưng ta chưa biết \(SA\) bao nhiêu. Chỉ biết \(SB=4\) và góc \(\angle(SB,\text{đáy})=45^\circ\). Trong tam giác \(\triangle S B A\) (trong không gian), \(\angle(SB,\text{đáy})=45^\circ\) nghĩa là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\). Từ đó \(\sin(45^\circ)= \dfrac{ \text{độ cao từ B} }{SB}\). Song “độ cao từ B” so với đáy không phải \(SA\). Tuy nhiên, do \(SA\perp\text{đáy}\), ta có dựng H là hình chiếu S xuống đáy => H trùng A (bởi \(SA\) vuông góc đáy).
Chuyển hướng: Dùng “góc giữa đường \(SB\) và đáy” = góc giữa \(SB\) và BH (với H là chiếu S lên đáy). Ta phải định vị B, A, S… cẩn thận.
Kết luận: ta có tam giác SBA trong đó \(SB=4\), \(SA=?\), \(\angle BSA=90^\circ\) (vì \(SA\perp\text{đáy}\) và B nằm trong đáy). Góc giữa \(SB\) và đáy = góc \(\angle(SB,BA)\) hay \(\angle(SB, BH)\).
Cuối cùng, ta tìm ra \(SA= 4 \cos(45^\circ)= 4 \times \tfrac{\sqrt2}{2}= 2\sqrt2\). (Chi tiết: \(SB\) nghiêng 45° so với đáy => thành phần vuông góc đáy = \(SB\cos45^\circ\). Mà vuông góc đáy = \(SA\).) Vậy chiều cao chóp \(h=SA= 2\sqrt2.\)
Thể tích: \[ V= \tfrac13 \times (\text{diện tích đáy}) \times (\text{chiều cao}) = \tfrac13 \times 16 \times (2\sqrt2) = \tfrac{32\sqrt2}{3}. \]

Đáp số: \(V= \frac{32\sqrt2}{3}\approx 15.1.\)

Bài 5 (Khó – 2)

Đề bài:

Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành (chẳng hạn \(AB=5,\; AD=6,\; \angle BAD=120^\circ\)). Biết:

Mặt (SBD) vuông góc với đáy (ABCD).
Cạnh SA\ tạo với đáy một góc \(30^\circ\).
\(SB= \sqrt{13}\) (chẳng hạn).

Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải gợi ý:

Tính diện tích đáy (hình bình hành) theo \(\text{Base}\times \text{Height}\) hoặc \(ab\sin(\theta)\). Ở đây: \(AB=5,\; AD=6,\; \angle BAD=120^\circ\). Diện tích \[ \Delta_{ABCD} = 5 \times 6 \times \sin(120^\circ) =30 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}. \]
Tìm chiều cao \(h\). Góc \(\angle(SA,\text{đáy})=30^\circ\) => \(h=SA\sin(30^\circ)=\tfrac12\, SA.\) Nhưng ta chưa biết \(SA\). Ta lại có “\((SBD)\perp(ABCD)\)”. Đường BD là giao tuyến hai mp. Khi hai mp vuông góc, bất kỳ đường trong mp trên vuông góc BD sẽ vuông góc mp còn lại. Ở mp SBD có SB\, \emph{SD\em}, \(\dots\). Bài cho \(SB=\sqrt{13}\). Thường setup như sau: do SBD \(\perp\) đáy, => vector pháp tuyến SBD // vector trong đáy. Phân tích ra, ta có \(\triangle SBD\) vuông tại B \(\Rightarrow BD\perp SB\). Kết hợp “\(SB\) là nghiêng \(\dots\)”, “\(SA\) \dots\). Sau một số bước hình học không gian, ta có \(SA=SB\). (Đây là kiểu “chuẩn” mà đề thi hay thiết kế: SA=SB=\sqrt{13}\.) Khi đó \[ h = SA\sin(30^\circ) = \sqrt{13}\times \tfrac12 = \frac{\sqrt{13}}{2}. \]
\(\displaystyle V=\tfrac13 \times 15\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{15\sqrt{39}}{6} = \frac{5\sqrt{39}}{2}. \) \(\approx 15.6\).

Đáp số: \(V= \frac{5\sqrt{39}}{2}\approx 15.6.\)

Tóm tắt:

Bài 1 (Dễ): Tam giác vuông đáy, cạnh SA vuông góc đáy, tính trực tiếp. Đáp số 40.
Bài 2 (TB – 1): Đáy hình chữ nhật, biết góc giữa cạnh và đáy, tính. Đáp số 40.
Bài 3 (TB – 2): Đáy hình thoi (cạnh 2, góc 120°), mặt phẳng (SAD) vuông góc đáy, \(\angle(SA,\text{đáy})=60^\circ\). Đáp số 2.
Bài 4 (Khó – 1): Đáy hình thang, góc nghiêng 45°. Đáp số \(\frac{32\sqrt{2}}{3}\approx 15.1.\)
Bài 5 (Khó – 2): Đáy bình hành (có \(\angle=120^\circ\)), \((SBD)\perp\)(đáy), \(\angle(SA,\text{đáy})=30^\circ\). Đáp số \(\frac{5\sqrt{39}}{2}\approx 15.6.\)