Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 1

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 1

Bài tập: Cho \( A(1, 0,-2), B(2, 1, -1), C(1, -2, 2) \). Xác định tọa độ điểm \( D \) để \( ABCD \) là hình bình hành.

A. \( D(0, -3, 1) \)

B. \( D(0, 3, 1) \)

C. \( D(3, 0, 1) \)

D. \( D(1, -3, -1) \)

Lời giải

ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

\(
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_B - x_A = x_C - x_D \\
y_B - y_A = y_C - y_B \\
z_B - z_A = z_C - z_D
\end{cases}
\)

\(
\Leftrightarrow
\begin{cases}
2 - 1 = 1 - x_D \\
1 - 0 = -2 - y_D \\
-1 + 2 = 2 - z_D
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_D = 0 \\
y_D = -3 \\
z_D = 1
\end{cases}
\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn A

page 10

Bài tập: Cho hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), biết \( A(1, 0, 1) \), \( B(2, 1, 2) \), \( D(1, -1, 1) \), \( C'(4, 5, -5) \). Tìm tọa độ của \( A' \).

A. \( A'(-2, 1, 1) \)

B. \( A'(3, 5, -6) \)

C. \( A'(5, -1, 0) \)

D. \( A'(2, 0, 2) \)

Lời giải
\(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_C - 1 = 1 \\
y_C + 1 = 1 \\
z_C - 1 = 1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_C = 2 \\
y_C = 0 \\
z_C = 2
\end{cases}
\Leftrightarrow C(2, 0, 2)
\)

\(
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_{A'} - 1 = 2 \\
y_{A'} - 0 = 5 \\
z_{A'} - 1 = -7
\end{cases}
\Leftrightarrow A'(3, 5, -6) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn B

page 11

Bài tập: Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \) có: \(A(4, 2, -1), C(3, -4, 1), B'(2, -1, 3), D'(0, 3, 5) \). Xác định tọa độ điểm \( D \).

A. \( D(-1, 1, 1) \)

B. \( D(-1, 2, 4) \)

C. \( D(1, 1, 1) \)

D. \( D(1, 1, -1) \)

Lời giải

• \( O(2, -1, 0), \, O'(1, 1, 4) \Rightarrow \overrightarrow{OO'} = (-1, 2, 4) \)

• \( \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{OO'} \Rightarrow D(1, 1, 1) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn C

page 12

Bài tập:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \) có: \( A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), D(0, 3, 0), D'(0, 3, -3) \). Tọa độ trọng tâm của \( \triangle A'B'C' \) là:

A. \( (2, 1, -1) \)

B. \( (1, 1, -2) \)

C. \( (2, 1, -2) \)

D. \( (1, 2, -1) \)

Lời gải

\(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{DD'} = (0, 0, -3) \Rightarrow A'(0, 0, -3)
\)

\(
\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{DD'} = (0, 0, -3) \Rightarrow B'(3, 0, -3)\)

\(I\left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0 \right) \Rightarrow C(3, 3, 0)\)

\(\Rightarrow G(2, 1, -2)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn C

page 13

Bài tập: Cho 3 điểm \( A(2, -1, 5), B(5, -5, 7), M(x, y, 1) \). Tìm \( x \) và \( y \) để 3 điểm \( A, B, M \) thẳng hàng.

A. \( \begin{cases} x = 4 \\ y = -7 \end{cases} \)

B. \( \begin{cases} x = 4 \\ y = 7 \end{cases} \)

C. \( \begin{cases} x = -4 \\ y = -7 \end{cases} \)

D. \( \begin{cases} x = -4 \\ y = 7 \end{cases} \)

Lời giải

\(
\begin{cases}
\overrightarrow{AB} = \{3, -4, 2\} \\
\overrightarrow{AM} = \{x - 2, y + 1, -4\}
\end{cases}\)
(Cùng phương)

\(\Leftrightarrow\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{-4}{2} = -2 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -4 \\ y = 7 \end{cases}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn D

page 14