Lời giải

\(\vec{AB} = (-1, x + 3, -5)\)
\(\vec{AC} = (y - 2, 7, -1)\)

\( A, B, C \) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \vec{AB}, \vec{AC} \) cùng phương

\(\Leftrightarrow \begin{cases} -7 = (y - 2)(x + 3) \\ -(x + 3) = -35 \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} x = 32 \\ y = \frac{9}{5} \end{cases}
\Rightarrow 2x + 5y = 64 + 9 = 73 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn A

page 15

Lời giải

\( \overrightarrow{AB} = (3, -4, 2) \)

\( \overrightarrow{CD} = (-6, 8, -4) \)           \( \quad \Rightarrow AB \parallel CD \)

\( \overrightarrow{AD} = (3, 8, -3) \)

\( \overrightarrow{BC} = (6, 4, -1)\)              \( \quad \Rightarrow AD \not\parallel BC \quad \Rightarrow \) Loại \( B, C, D \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn A

page 16

Lời giải

Nếu \( D \) là một kết quả cụ thể thì có thể thử!

\( MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2 \)  

\( = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2 \)  
\( = 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG}( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2 \)  
\( = 3\overrightarrow{MG}^2 + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2 \quad     :(nhỏ \, nhất \))

\( \Leftrightarrow \) MG nhỏ nhất   

\( \Leftrightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G(1, 1, 2) xuống mp \(P: 2x - y - z + 7 = 0\) 

\(\Leftrightarrow \) M thỏa hệ:
\(\Leftrightarrow 
\begin{cases} 
\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{-1} \\ 
2x - y - z + 7 = 0 
\end{cases}
\)  

\(
\Leftrightarrow 
\begin{cases} 
-x - 2y = -3 \\  
-x - z = -5 \\  
2x - y - z = -7  
\end{cases}
 \Leftrightarrow 
\begin{cases} 
x = -1 \\  
y = 2 \\  
z = 3  
\end{cases} 
\Leftrightarrow M(-1, 2, 3)
\)  

\(\Rightarrow\) Vậy chọn C

Tìm Min của \(P = MA^2 + MB^2 + MC^2 \)

Min \(P = 3 \left( d(G, mpP) \right)^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 36 \)

page 17

Lời giải

 \( |\vec{MA}^2 + \vec{MB}^2 + \vec{MC}|^2 = | \vec{MG}|^2 \) với \( G \) là trung điểm của \( \triangle ABC \), \( G(2, 3, 2) \).  

\(
\begin{cases}
M \in \text{mp} (Oxy) \\                
MG \text{ nhỏ nhất}
\end{cases}
\Leftrightarrow \)M là hình chiếu \(\perp\)  của  \(G(2, 3, 2) \) xuống mp \( (Oxy)\)

\(\Rightarrow M(2, 3, 0) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn C

⚠️
*  Hình chiếu vuông góc của \( P(1, 2, 3) \):  
a) Xuống mp \( (Oyz) \) là: \( P_1(0, 2, 3) \)  
b) Xuống mp \( (Oxz) \) là: \( P_2(1, 0, 3) \)  
c) Xuống \( Oy \)             là: \( P_3(0, 2, 0) \)  
d) Xuống \( Oz \)             là: \( P_4(0, 0, 3) \)

page 18

Lời giải

\( \vec{MA}+ \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 4\vec{MG} \) với \( G \) là trọng tâm của tứ diện \( ABCD \).  

\( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0} \)

\(
\begin{cases} 
 x_G = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4} = \frac{1 + 2 - 7 + 0}{4} = -1 \\  
 y_G = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4} = \frac{3 - 6 - 4 - 1}{4} = -2  \\  
 z_G = \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} = \frac{-3 + 7 + 3 + 5}{4} = 3 
\end{cases}
\)

\(\Rightarrow G(-1, -2, 3)\)  

\(
\begin{cases} 
M \in \text{mp } (Oyz) \\ 
MG \text{ nhỏ nhất} 
\end{cases} 
\Leftrightarrow\) M  là hình chiếu vuông góc của \( G(-1, -2, 3) \)  xuống mp  \((Oyz)\)

\(\Rightarrow M(0, -2, 3)\) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn D 

Hỏi thêm: Điểm  \(N \in Oy\) sao cho  \(|\vec{NA} + \vec{NB} + \vec{NC} + \vec{ND}| \)nhỏ nhất ? 

\(\Leftrightarrow\) N  là hình chiếu vuông góc của \( G(-1, -2, 3) \)xuống \(Oy\)

\(\Leftrightarrow N(0,-2,0)\)

page 19