Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 3

Bài tập: Cho 2 điểm \( A(-1, 2, 4) \), \( B(3, -2, 0) \). Điểm \( M \in \text{mp } Oxz \) sao cho \( |\vec{MA}^2 + 3\vec{MB}|^2 \) nhỏ nhất có tọa độ là:  
A. \( M(-1, 0, -2) \)                      
B. \( M(1, 0, 2) \)                  
C. \( M(2, 0, 1) \)                        
D. \( M(-2, 0, -1) \) 

Lời giải

* Gợi ý: Tìm điểm \( I \) sao cho \( \vec{MA} + 3\vec{MB} = k.\vec{MI} \)  

\( \Leftrightarrow \vec{MI} + \vec{IA} + 3(\vec{MI} + \vec{IB}) = 4\vec{MI} + \vec{IA} + 3\vec{IB}\)  

Tìm điểm \( I \) sao cho \( \vec{IA} + 3\vec{IB} = \vec{0} \)  
\( (x_A - x_I) + 3(x_B - x_I) = 0 \Rightarrow x_I = \frac{x_A + 3x_B}{4} \)  

\(
\begin{cases}
x_I = \frac{x_A + 3x_B}{4} = \frac{-1 + 9}{4} = 2\\ 
y_I = \frac{y_A + 3y_B}{4} = \frac{2 - 6}{4} = -1\\
z_I = \frac{z_A + 3z_B}{4} = \frac{4 + 0}{4} = 1 
\end{cases}
\Leftrightarrow I(2, -1, 1)\) 

•  \( |\vec{MA} + 3\vec{MB}| = 4MI \) nhỏ nhất khi M nằm trong mặt phẳng \(Oxz \)

\(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 1) \) xuống mp \( (Oxz )\)  

\(\Leftrightarrow M(2, 0, 1) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

Làm thêm:  Cho \( A( 2, -4, 1), \, B(5, -2, -1), \, C(-1, 0, 6) \). Tìm điểm \( M \in \) mp \( Oxz \) sao cho:  \( |\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC}| \) nhỏ nhất.  

ĐS: \( M(1, 0, 1) \) 

\((\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = 6\vec{MI} \) với \(  I(1, -1, 1)\)

page 20


III. Tích vô hướng của hai vectơ

\(\quad \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}| .\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\)

Định lý:   \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
            \(\quad \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

 

* Độ dài của một vectơ: \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\)
                \(\quad |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

 

* Khoảng cách giữa hai điểm: \(A(x_A, y_A, z_A),  B(x_B, y_B, z_B)\)
     \(\quad AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)

 

* Góc tạo bởi hai vectơ:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
                Gọi  \(\varphi \) = Góc \( (\overrightarrow{a} ,  \overrightarrow{b})\)
                \(\quad \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\)

 

* Điều kiện để hai vectơ vuông góc:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),  \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
            \(\quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} .\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0\)


page 21


Bài tập: Cho\( \overrightarrow{a} = (1, 1, 2), \, \overrightarrow{b} = (x, 0, 1)\).Tìm x để \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{26}\)
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = -4 \end{array} \right.\quad\)              
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array} \right.\quad  \)       
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array} \right.\quad \)          
D. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array} \right.\quad \)

Lời giải:

\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x+1, 1, 3)\)

\(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(x+1)^2 + 1 + 9} = \sqrt{26}\)

\( \Leftrightarrow (x+1)^2 = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1 = 4 \\ x+1 = -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array} \right. \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

page 22


Bài tập: Cho  \(\overrightarrow{a} = (2, 1, 0), \, \overrightarrow{b} = (-1, 0, -2) , cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \) bằng:
A.  \(-\frac{2}{25} \quad\)
B. \(-\frac{2}{5} \quad\)
C. \( \frac{2}{25} \quad\)
D. \(\frac{2}{5}\)
 

Lời giải

\(\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = -\frac{2}{5} \quad\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \) 

page 23


Bài tập: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm  \(M(2,3,-1),  N(-1,1,1),  P(1,m-1,2)\). Tìm m để \(\triangle\) MNP  vuông tại N.
               A.  m=-6                             B.  m=0                             C.  m=-4                                 D. m=2

 

Lời giải

•   \(\overrightarrow{NM} = (3,2,-2) \quad \overrightarrow{NP} = (2,m-2,1)\)

•   \(\triangle MNP\)  vuông tại  N \(\Leftrightarrow \overrightarrow{NM} \perp \overrightarrow{NP}\)

\(\Leftrightarrow 6 + 2(m-2) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \quad\) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 24