Bài tập: Cho 2 điểm \( A(-1, 2, 4) \), \( B(3, -2, 0) \). Điểm \( M \in \text{mp } Oxz \) sao cho \( |\vec{MA}^2 + 3\vec{MB}|^2 \) nhỏ nhất có tọa độ là:
A. \( M(-1, 0, -2) \)
B. \( M(1, 0, 2) \)
C. \( M(2, 0, 1) \)
D. \( M(-2, 0, -1) \)
Lời giải
* Gợi ý: Tìm điểm \( I \) sao cho \( \vec{MA} + 3\vec{MB} = k.\vec{MI} \)
\( \Leftrightarrow \vec{MI} + \vec{IA} + 3(\vec{MI} + \vec{IB}) = 4\vec{MI} + \vec{IA} + 3\vec{IB}\)
Tìm điểm \( I \) sao cho \( \vec{IA} + 3\vec{IB} = \vec{0} \)
\( (x_A - x_I) + 3(x_B - x_I) = 0 \Rightarrow x_I = \frac{x_A + 3x_B}{4} \)
\(
\begin{cases}
x_I = \frac{x_A + 3x_B}{4} = \frac{-1 + 9}{4} = 2\\
y_I = \frac{y_A + 3y_B}{4} = \frac{2 - 6}{4} = -1\\
z_I = \frac{z_A + 3z_B}{4} = \frac{4 + 0}{4} = 1
\end{cases}
\Leftrightarrow I(2, -1, 1)\)
• \( |\vec{MA} + 3\vec{MB}| = 4MI \) nhỏ nhất khi M nằm trong mặt phẳng \(Oxz \)
\(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 1) \) xuống mp \( (Oxz )\)
\(\Leftrightarrow M(2, 0, 1) \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)
Làm thêm: Cho \( A( 2, -4, 1), \, B(5, -2, -1), \, C(-1, 0, 6) \). Tìm điểm \( M \in \) mp \( Oxz \) sao cho: \( |\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC}| \) nhỏ nhất.
ĐS: \( M(1, 0, 1) \)
\((\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = 6\vec{MI} \) với \( I(1, -1, 1)\)
page 20
III. Tích vô hướng của hai vectơ
\(\quad \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}| .\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\)
Định lý: \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
\(\quad \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
* Độ dài của một vectơ: \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\)
\(\quad |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
* Khoảng cách giữa hai điểm: \(A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B)\)
\(\quad AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)
* Góc tạo bởi hai vectơ:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
Gọi \(\varphi \) = Góc \( (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})\)
\(\quad \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\)
* Điều kiện để hai vectơ vuông góc:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3), \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
\(\quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} .\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0\)
page 21
Bài tập: Cho\( \overrightarrow{a} = (1, 1, 2), \, \overrightarrow{b} = (x, 0, 1)\).Tìm x để \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{26}\)
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = -4 \end{array} \right.\quad\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array} \right.\quad \)
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array} \right.\quad \)
D. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array} \right.\quad \)
Lời giải:
\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x+1, 1, 3)\)
\(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(x+1)^2 + 1 + 9} = \sqrt{26}\)
\( \Leftrightarrow (x+1)^2 = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1 = 4 \\ x+1 = -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array} \right. \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)
page 22
Bài tập: Cho \(\overrightarrow{a} = (2, 1, 0), \, \overrightarrow{b} = (-1, 0, -2) , cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \) bằng:
A. \(-\frac{2}{25} \quad\)
B. \(-\frac{2}{5} \quad\)
C. \( \frac{2}{25} \quad\)
D. \(\frac{2}{5}\)
Lời giải
\(\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = -\frac{2}{5} \quad\)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)
page 23
Bài tập: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm \(M(2,3,-1), N(-1,1,1), P(1,m-1,2)\). Tìm m để \(\triangle\) MNP vuông tại N.
A. m=-6 B. m=0 C. m=-4 D. m=2
Lời giải
• \(\overrightarrow{NM} = (3,2,-2) \quad \overrightarrow{NP} = (2,m-2,1)\)
• \(\triangle MNP\) vuông tại N \(\Leftrightarrow \overrightarrow{NM} \perp \overrightarrow{NP}\)
\(\Leftrightarrow 6 + 2(m-2) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \quad\)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)
page 24