Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 5

Bài tập: Cho điểm \( M(1, 1, 2) \). Tìm điểm \( M' \in \text{mp}(Oyz) \) sao cho \( MM' \) ngắn nhất.
A. \( M'(0, 1, 2) \)              
B. \( M'(0, 2, 1) \)          
C. \( M'(1, 0, 2) \)              
D. \( M'(1, 1, 0) \)

Đáp án:

•  \(C_1 \)Thử!  

•  \( MM' \) ngắn nhất \( \Leftrightarrow M' \) là hình chiếu \( \perp \) của \( M \) xuống mp (Oyz)  

\( \Leftrightarrow M'(0, 1, 2) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

Chống thử: Gọi \( M'(0, a, b) \) nào cho \( MM' \) ngắn nhất khi đó: \( a + b \) bằng:  
                        A. 2                              B. 3                          C. -2                              D. 1

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 30



Bài tập: Cho \( A(2, 3, 1) \), \( B(1, 1, 0) \). Tìm điểm \( M \in \text{mp}(Oxy) \) sao cho \( P = |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}| \) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \( M(1, 1, 0) \)                                      
B. \( M(0, -1, 0) \)  
C. \( M(-1, 1, 0) \)                                         
D. \( M(1, -1, 0) \)

Đáp án:

•  Có thể thử!  

Đổi nhiều: Gọi \( M(a, b, 0) \in \text{mp}(Oxy) \) nào cho \( D = |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}| \) nhỏ nhất. Khi đó \( a + b \) bằng:
                        A. -2                          B. -1                          C. 1                              D. 0  

•  Gọi \( I \) là điểm tùy ý:  
\( \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) - 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = -\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} - 2\overrightarrow{IB}\)

•  Tìm điểm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( \overrightarrow{IA} - 2\overrightarrow{IB} = \vec{0} \)

\(
\begin{cases}
(2 - a) - 2(1 - a) = 0 \\
(3 - b) - 2(1 - b) = 0 \\
(1 - c) - 2(0 - c) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
a = 0 \\
b = -1 \\
c = -1
\end{cases}
\Leftrightarrow  I(0, -1, -1)
\)

•   Khi đó \( P = IM \) nhỏ nhất  

\( \Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( I(0, -1, -1) \) xuống mặt phẳng \( Oxy \).  
\( \Leftrightarrow M(0, -1, 0) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

 

•  \( M \in \text{mp}(Oxy) \Leftrightarrow M(a, b, 0) \)

\( \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} = (2 - a, 3 - b, 1) - 2(1 - a, 1 - b, 0) = (a, b + 1, 1) \)

\( \Rightarrow  P = |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}| = \sqrt{a^2 + (b + 1)^2 + 1} ≥ 1
\)

 P đạt Min \(\Leftrightarrow \begin{cases}a = 0 \\b = -1\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 31


Bài tập: Cho \( A(3, 1, 0) \), \( B(0, 1, 1) \). Tìm điểm \( M \in \text{mp}(Oxz) \) sao cho \( P = |3\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{BM}| \) nhỏ nhất.
A. \( M(3, 0, 1) \)                                                      
B. \( M(9, 0, -2) \)                                 
C. \( M(-6, 0, 2) \)                                                     
D. \( M(-3, 0, 2) \)

Đáp án:

•   \(
3\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{BM} = 3(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IM}) - 2(\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IM}) = 3\overrightarrow{AI} - 2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IM}
\)

•   Tìm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( 3\overrightarrow{AI} - 2\overrightarrow{BI} = \vec{0} \)

\(
\begin{cases}
3(a - 3) - 2(a - 0) = 0 \\
3(b - 1) - 2(b - 1) = 0 \\
3(c - 0) - 2(c - 1) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
a = 9 \\
b = 1 \\
c = -2
\end{cases}
\Leftrightarrow  I(9, 1, -2) 
\)

\(\Rightarrow M(9, 0, -2) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 32


Bài tập: Cho \( A(2, -4, 2) \), \( B(5, -1, -1) \), \( C(0, 0, 6) \). Tìm điểm \( M \in \text{mp}(Oxz) \) sao cho: \(|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| \) nhỏ nhất.
A. \( M(2, 0, 3) \)                                                          
B. \( M(-2, 0, 3) \)                                            
C. \( M(-2, 0, -3) \)                                                         
D. \( M(2, 0, -3) \)

​​​​​​​Đáp án:

•   Gọi \( I \) là một điểm tùy ý.  
\(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 6\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC}\) 
•   Tìm điểm \( I(a, b, c) \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \vec{0} \)

\(\begin{cases}(2 - a) + 2(5 - a) + 3(- a) = 0 \\(-4 - b) + 2(-1 - b) + 3(- b) = 0 \\(2 - c) + 2(-1 - c) + 3(6 - c) = 0\end{cases}\)

 \(\Leftrightarrow\begin{cases}
-6a + 12 = 0 \\
-6b - 6 = 0 \\
-6c + 18 = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2 \\b = -1 \\
c = 3
\end{cases}
\Leftrightarrow I(2, -1, 3)\)

Khi đó \( |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = 6\overrightarrow{MI} \), với \(( M \in \text{mp}Oxz) \) nhỏ nhất  

 \(\Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 3) \) xuống mặt phẳng \( Oxz \)  

 \( \Leftrightarrow M(2, 0, 3) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{A}} \)

Bài tập: Gọi \( M(a, 0, b) \) sao cho: \( |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| \) nhỏ nhất. Khi đó \( a + b \) bằng:  
                        A. \( 3 \)                              B. \( 5 \)                              C. \( 7 \)                              D. \( 9 \)

​​​​​​​Đáp án:

•  \(M(2, 0, 3) \)
•  \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = (2 - a, -4, 2 - b) + 2(5 - a, -1, -1 - b) + 3(-a, 0, 6 - b)\)

                                             \(= (12 - 6a, -6, 18 - 6b)\)

\(P = \sqrt{36(2 - a)^2 + 36(3 - b)^2 + 36} \quad \geq 36\)

 P đạt Min \(\Leftrightarrow
\begin{cases}a = 2 \\b = 3\end{cases}\)

\( \Rightarrow a + b = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 33


Bài tập: Cho \( A(1, 1, 0) \), \( B(0, 0, 3) \). Đặt \( P = 2\overrightarrow{MA}^2 - \overrightarrow{MB}^2 \), trong đó \( M \) là điểm thuộc mặt phẳng \( Oxz \).  \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( M \) có tọa độ là:
A. \( (0, 3, 2) \)                                          
B. \( (0, 1, 2) \)                            
C. \( (0, 2, -3) \)                                         
D. \( (0, 1, -1) \)

​​​​​​​Đáp án:

•  Có thể dùng phương pháp thử! 
•  \(
P = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^2 - \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^2
\)

    \(= 2\left( \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} .\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA}^2 \right) - \left( \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} . \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IB}^2 \right)\)

    \(= \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} . \left( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} \right) + 2\overrightarrow{IA}^2 - \overrightarrow{IB}^2\)

•  Tìm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0} \) 

\(
\begin{cases}
2(1 - a) - (0 - a) = 0 \\
2(6 - b) - (0 - b) = 0 \\
2(0 - c) - (3 - c) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2 \\
b = 2 \\
c = -3
\end{cases}
\Leftrightarrow
 I(2, 2, -3) \)

\( \Rightarrow M(0, 2, -3) \) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

Bài tập: Gọi \( M(0, a, b) \) sao cho \( P = 2\overrightarrow{MA}^2 - \overrightarrow{MB}^2 \) nhỏ nhất. Khi đó \( a + b \) bằng:  
                   A. \( 1 \)                              B. \( -1 \)                                  C. \( 2 \)                                       D. \( -2 \)

 ​​​​​​​Đáp án:\( M(0, a, b): \) 

•  \( P = 2\left[ 1 + (1 - a)^2 + b^2 \right] - \left[ a^2 + (3 - b)^2 \right] \)  
    \(= a^2 - 4a + b^2 + 6b - 5 \)
    \(= (a - 2)^2 + (b + 3)^2 - 18 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 34