Lời giải

\(C_1 \)Thử!  

\( MM' \) ngắn nhất \( \Leftrightarrow M' \) là hình chiếu \( \perp \) của \( M \) xuống mp (Oyz)  

\( \Leftrightarrow M'(0, 1, 2) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 30

Lời giải

Có thể thử!  

*Gọi \( I \) là điểm tùy ý:  
\( \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) - 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = -\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} - 2\overrightarrow{IB}\)

*  Tìm điểm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( \overrightarrow{IA} - 2\overrightarrow{IB} = \vec{0} \)

\(
\begin{cases}
(2 - a) - 2(1 - a) = 0 \\
(3 - b) - 2(1 - b) = 0 \\
(1 - c) - 2(0 - c) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
a = 0 \\
b = -1 \\
c = -1
\end{cases}
\Leftrightarrow  I(0, -1, -1)
\)

•   Khi đó \( P = IM \) nhỏ nhất  

\( \Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( I(0, -1, -1) \) xuống mặt phẳng \( Oxy \).  
\( \Leftrightarrow M(0, -1, 0) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

*  \( M \in \text{mp}(Oxy) \Leftrightarrow M(a, b, 0) \)

\( \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} = (2 - a, 3 - b, 1) - 2(1 - a, 1 - b, 0) = (a, b + 1, 1) \)

\( \Rightarrow  P = |\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}| = \sqrt{a^2 + (b + 1)^2 + 1} ≥ 1
\)

 P đạt Min \(\Leftrightarrow \begin{cases}a = 0 \\b = -1\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 31

Lời giải

•   \(
3\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{BM} = 3(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IM}) - 2(\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IM}) = 3\overrightarrow{AI} - 2\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IM}
\)

•   Tìm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( 3\overrightarrow{AI} - 2\overrightarrow{BI} = \vec{0} \)

\(
\begin{cases}
3(a - 3) - 2(a - 0) = 0 \\
3(b - 1) - 2(b - 1) = 0 \\
3(c - 0) - 2(c - 1) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\begin{cases}
a = 9 \\
b = 1 \\
c = -2
\end{cases}
\Leftrightarrow  I(9, 1, -2) 
\)

\(\Rightarrow M(9, 0, -2) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 32

Lời giải

*  Gọi \( I \) là một điểm tùy ý.  
\(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 6\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC}\) 
* Tìm điểm \( I(a, b, c) \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \vec{0} \)

\(\begin{cases}(2 - a) + 2(5 - a) + 3(- a) = 0 \\(-4 - b) + 2(-1 - b) + 3(- b) = 0 \\(2 - c) + 2(-1 - c) + 3(6 - c) = 0\end{cases}\)

 \(\Leftrightarrow\begin{cases}
-6a + 12 = 0 \\
-6b - 6 = 0 \\
-6c + 18 = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2 \\b = -1 \\
c = 3
\end{cases}
\Leftrightarrow I(2, -1, 3)\)

Khi đó \( |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = 6\overrightarrow{MI} \), với \(( M \in \text{mp}Oxz) \) nhỏ nhất  

 \(\Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 3) \) xuống mặt phẳng \( Oxz \)  

 \( \Leftrightarrow M(2, 0, 3) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{A}} \)

•  \(M(2, 0, 3) \)
•  \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = (2 - a, -4, 2 - b) + 2(5 - a, -1, -1 - b) + 3(-a, 0, 6 - b)\)

                                             \(= (12 - 6a, -6, 18 - 6b)\)

\(P = \sqrt{36(2 - a)^2 + 36(3 - b)^2 + 36} \quad \geq 36\)

 P đạt Min \(\Leftrightarrow
\begin{cases}a = 2 \\b = 3\end{cases}\)

\( \Rightarrow a + b = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 33

Lời giải

Có thể dùng phương pháp thử! 
\(
P = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^2 - \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^2
\)

    \(= 2\left( \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} .\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA}^2 \right) - \left( \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} . \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IB}^2 \right)\)

    \(= \overrightarrow{MI}^2 + 2\overrightarrow{MI} . \left( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} \right) + 2\overrightarrow{IA}^2 - \overrightarrow{IB}^2\)

* Tìm \( I(a, b, c) \) sao cho:  \( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0} \) 

\(
\begin{cases}
2(1 - a) - (0 - a) = 0 \\
2(6 - b) - (0 - b) = 0 \\
2(0 - c) - (3 - c) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2 \\
b = 2 \\
c = -3
\end{cases}
\Leftrightarrow
 I(2, 2, -3) \)

\( \Rightarrow M(0, 2, -3) \) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

 \( M(0, a, b): \) 

\( P = 2\left[ 1 + (1 - a)^2 + b^2 \right] - \left[ a^2 + (3 - b)^2 \right] \)  
    \(= a^2 - 4a + b^2 + 6b - 5 \)
    \(= (a - 2)^2 + (b + 3)^2 - 18 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 34