Lời giải:
• \( P = MA^2 + MB^2 = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 \)
\(= 2MI^2 + 2\overrightarrow{MI} (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + IA^2 + IB^2\)
• Tìm điểm \( I \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow I \left( 2, 2, \frac{3}{2} \right) \) là trung điểm của AB.
• Khi đó \( P = 2MI^2 + 2IA^2 \) nhỏ nhất ⟺ \( MI \) nhỏ nhất
\(\Rightarrow M(2, 2, 0) \)
• \( IM^2 = \frac{9}{4} \)
• \(IA^2 = 1 + \frac{9}{4} \)
Min \(P =\frac{9}{2} + 2\left( 1 + \frac{9}{4} \right) = 11 \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{D}} \)
* \( M(a, b, 0) \)
\( P = (3 - a)^2 + (2 - b)^2 + (1 - a)^2 + (2 - b)^2 + 9 \)
\(= 2a^2 - 8a + 2b^2 - 8b + 27.\)
\(= 2(a - 2)^2 + 2(b - 2)^2 + 11 \quad \geq 11 \)
Min \(P\) = 11 khi \(\begin{cases}a = 2 \\b = 2\end{cases}\)
page 35
Lời giải
* Gọi \( I \) là điểm tùy ý trong không gian.
\( P = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + 2 ( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 + 3 ( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC})^2 \)
\( = 6MI^2 + 2m^2 \left( \overrightarrow{IA}^2 + 2 \overrightarrow{IB}^2 + 3 \overrightarrow{IC}^2 \right) \)
* Tìm điểm \( I \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + 2 \overrightarrow{IB} + 3 \overrightarrow{IC} = \vec{0} \Rightarrow I(2, -1, 3) \)
* \( P \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \text{IM nhỏ nhất} \)
\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 3) \) xuống mặt phẳng \( (Oxy) \).
\( \Leftrightarrow M(2, -1, 0) \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{D}} \)
page 36
Lời giải
\(
\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} = \frac{\sqrt{1 + 9 + 16}}{\sqrt{36 + 64 + 4}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2}
\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DC} = -2 \overrightarrow{DA}\)
\( x_C - x_D = -2(x_A - x_D) \Rightarrow 3x_D = x_C + 2x_A\)
\(\Rightarrow
\begin{cases}
x_D = \frac{x_C + 2x_A}{3} = \frac{-4 + 2}{3} = -\frac{2}{3}\\
y_D = \frac{y_C + 2y_A}{3} = \frac{7 + 4}{3} = \frac{11}{3}\\
z_D = \frac{z_C + 2z_A}{3} = \frac{5 - 2}{3} = 1
\end{cases}
\Rightarrow D\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)\)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)
page 37
Lời giải
• \( \overrightarrow{BG} = (2, 3, -4) \)
• \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2 \overrightarrow{BI} = 2 . \frac{3}{2} \overrightarrow{BG} \)
\( = 3 \overrightarrow{BG} = (6, 9, -12) \)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)
page 38
* Tích có hướng của hai vectơ
1) Định nghĩa: Tích có hướng của 2 vectơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) (theo thứ tự) là một vectơ, ký hiệu \( [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \)
- Có phương \( \perp \overrightarrow{a} \) và \( \perp \overrightarrow{b} \)
- Có chiều theo quy tắc vặn nút chai từ \( \overrightarrow{a} \) qua \( \overrightarrow{b} \)
- Có môđun:
\( |[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]| = |\overrightarrow{a}| .|\overrightarrow{b}|. \sin(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \)
2) Biểu thức tọa độ của tích có hướng của 2 vectơ
Cho \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3) \)
\( \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3) \)
\(
[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] =
\left(
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 \\
b_3 & b_1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}
\right)
\)
\(=\left(\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix},
- \begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}
\right)
\)
Ví dụ:
\(\begin{cases}
a = (1, 3, -2)\\
b = (4, -1, 3)
\end{cases}
\Rightarrow
[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = (7, -11, -13) \)
Cách 2: Bấm (xem trang sau)
page 39