Đáp án:

•  \( P = MA^2 + MB^2 = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 \)  
        \(= 2MI^2 + 2\overrightarrow{MI} (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + IA^2 + IB^2\)

•   Tìm điểm \( I \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow I \left( 2, 2, \frac{3}{2} \right) \) là trung điểm của AB.

•  Khi đó \( P = 2MI^2 + 2IA^2 \) nhỏ nhất ⟺ \( MI \) nhỏ nhất  

\(\Rightarrow M(2, 2, 0) \)  

•  \( IM^2 = \frac{9}{4} \)

•  \(IA^2 = 1 + \frac{9}{4} \)

 Min   \(P =\frac{9}{2} + 2\left( 1 + \frac{9}{4} \right) = 11 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{D}} \)

•  \( M(a, b, 0) \)

\( P = (3 - a)^2 + (2 - b)^2 + (1 - a)^2 + (2 - b)^2 + 9 \) 

    \(= 2a^2 - 8a + 2b^2 - 8b + 27.\)

    \(= 2(a - 2)^2 + 2(b - 2)^2 + 11 \quad \geq 11 \)

•  Min \(P\) = 11 khi  \(\begin{cases}a = 2 \\b = 2\end{cases}\)

page 35

Đáp án:

•  Gọi \( I \) là điểm tùy ý trong không gian.  

\( P = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + 2 ( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 + 3 ( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC})^2 \)

    \( = 6MI^2 + 2m^2 \left( \overrightarrow{IA}^2 + 2 \overrightarrow{IB}^2 + 3 \overrightarrow{IC}^2 \right) \)

•  Tìm điểm \( I \) sao cho \( \overrightarrow{IA} + 2 \overrightarrow{IB} + 3 \overrightarrow{IC} = \vec{0} \Rightarrow I(2, -1, 3) \)

•  \( P \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \text{IM nhỏ nhất} \)

\( \Leftrightarrow  \)  M là hình chiếu vuông góc của \( I(2, -1, 3) \) xuống mặt phẳng \( (Oxy) \).  

\( \Leftrightarrow  M(2, -1, 0) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{D}} \)

page 36

Đáp án:

•  \(
\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} = \frac{\sqrt{1 + 9 + 16}}{\sqrt{36 + 64 + 4}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2}
\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DC} = -2 \overrightarrow{DA}\)

\( x_C - x_D = -2(x_A - x_D) \Rightarrow 3x_D = x_C + 2x_A\)

\(\Rightarrow
\begin{cases}
x_D = \frac{x_C + 2x_A}{3} = \frac{-4 + 2}{3} = -\frac{2}{3}\\ 
y_D = \frac{y_C + 2y_A}{3} = \frac{7 + 4}{3} = \frac{11}{3}\\ 
z_D = \frac{z_C + 2z_A}{3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 
\end{cases}
\Rightarrow D\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 37

Đáp án:

•  \( \overrightarrow{BG} = (2, 3, -4) \)

•  \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2 \overrightarrow{BI} = 2 . \frac{3}{2} \overrightarrow{BG} \)

                      \( = 3 \overrightarrow{BG} = (6, 9, -12) \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 38

•  Tích có hướng của hai vectơ

1) Định nghĩa: Tích có hướng của 2 vectơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) (theo thứ tự) là một vectơ, ký hiệu \( [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \) 

- Có phương \( \perp \overrightarrow{a} \) và \( \perp \overrightarrow{b} \)  

- Có chiều theo quy tắc vặn nút chai từ \( \overrightarrow{a} \) qua \( \overrightarrow{b} \) 

- Có môđun:  
        \( |[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]| = |\overrightarrow{a}| .|\overrightarrow{b}|. \sin(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \)

2) Biểu thức tọa độ của tích có hướng của 2 vectơ  

Cho \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3) \)
        \( \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3) \)

\(
[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] =
\left(
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1 \\
b_3 & b_1
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}
\right)
\)

               \(=\left(\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix},
- \begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}
\right)
\)

Ví dụ:

\(\begin{cases}
a = (1, 3, -2)\\
b = (4, -1, 3)
\end{cases} 
 \Rightarrow
[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] = (7, -11, -13) \)

Cách 2: Bấm (xem trang sau)
 

page 39