Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 7

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian bài tập phần 7

+ Mode → 8 (Môi trường vectơ)

            Vectơ?
            1: VCT A              2: VCT B
            3: VCT C

- Nhấn số 1: ra VCT A (m) m?
1: 3 2: 2

- Nhấn số 1.

- Nhập 3 tọa độ của \( \overrightarrow{a} = (1, 3, -2) \)
\(1 \rightarrow = \rightarrow 3 \rightarrow = \rightarrow -2 \rightarrow =\)

- Nhấn: Shift \(\rightarrow\) 5 (1: Dim    2: Data) \(\rightarrow\) 2
  và     Vctơ?
          1: VCT A                                  2: VCT B
          3: VCT C

- Nhấn số: 2 (ra m?) \( \rightarrow \) 1

- Nhập 3 tọa độ của \( \overrightarrow{b} = (4, -1, 3) \):
\(4 \rightarrow = \rightarrow -1 \rightarrow = \rightarrow 3 \rightarrow =\)

- Thoát: bấm AC

- Shift \(\rightarrow\) 5

- 3 (hiện: VCT A) \(\rightarrow\) × (dấu nhân) \(\rightarrow\) Shift \(\rightarrow\) 5 \(\rightarrow\) 4 (gọi: vect B) \(\rightarrow\) = ra \( (7, -11, -13) \)

*Tính tích vô hướng của \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \)

- Shift \(\rightarrow\) 5 \(\rightarrow\) 3 (gọi vect \( \overrightarrow{A} \)) \(\rightarrow\) Shift \(\rightarrow\) 5 \(\rightarrow\) 7 (CDot : tích vô hướng), hiện VCT A \(\rightarrow\) Shift\(\rightarrow\) 5\(\rightarrow\) 4

\(\rightarrow\) = (ra -5)

page 40

3. Tính chất

a) \([ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ] = -[ \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a} ]\).

b) \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) cùng phương \( \Leftrightarrow [ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ] = \vec{0} \)

c) \([ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ] \perp \overrightarrow{a} \quad \text{và} \quad [ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ] \perp \overrightarrow{b} \)

Suy ra:
\([\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \perp \text{mp} (\triangle ABC)\)

d) Cho hình bình hành \( ABCD \) (ý nghĩa hình học của tích có hướng của 2 vectơ)

\(
|[ \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} ]| = |\overrightarrow{BA}|. |\overrightarrow{BC}|. \sin B = S_{ABCD}
\)

* Cho \( ABCD \) là hình bình hành
\(S_{ABCD} = |[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} ]| = |[ \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} ]| = |[ \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD} ]|\)

* Cho \( \triangle ABC \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} |[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ]| = \frac{1}{2} |[ \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC} ]| = \frac{1}{2} |[ \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} ]| \)

Áp dụng: Trong mp Oxy cho \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \). Tìm công thức tính \( S_{\triangle ABC} \)

Xem \( A(x_A, y_A, 0) \), \( B(x_B, y_B, 0) \), \( C(x_C, y_C, 0) \)

\(\Rightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \right|\)

page 41

Bài tập: Cho \( A(1, 1, 0) \), \( B(1, 1, 2) \), \( C(1, 0, 2) \). Diện tích của \( \triangle ABC \) bằng:

A. \( \frac{1}{2} \)

B. \( 1 \)

C. \( \frac{3}{2} \)

D. \( 2 \)

Lời giải

\( \overrightarrow{AB} = (0, 0, 2)\)

\(\overrightarrow{AC} = (0, -1, 2)\)

\(\Rightarrow[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (2, 0, 0) \)

\( \Rightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \right| = 1 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{B}} \)

page 42

Bài tập: Cho \( \triangle ABC \) với \( A(1, 0, 1) \), \( B(0, 2, 3) \), \( C(2, 1, 0) \). Tính độ dài đường cao của \( \triangle ABC \) kể từ \( C \).

A. \( \sqrt{26} \)

B. \( \frac{\sqrt{26}}{2} \)

C. \( \frac{\sqrt{26}}{3} \)

D. \( 26 \)

Lời giải

\( \overrightarrow{AB} = (-1, 2, 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (1, 1, -1) \)

\(\Rightarrow [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (-4, 1, -3) \)

• \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \right| = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 1 + 9} = \frac{\sqrt{26}}{2} \)

• \( AB = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \)

\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} .AB .d(C, AB) \)

\(\Rightarrow d(C, AB) = \frac{2S_{\triangle ABC}}{AB} = \frac{\sqrt{26}/2}{3} = \frac{\sqrt{26}}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)

page 43

Định lý:
\( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow [\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}] \overrightarrow{c} = 0 \).

\( \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \) cùng song song với một mặt phẳng.

• Bốn điểm \( A, B, C, D \) đồng phẳng

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \) đồng phẳng

page 44