Chương II: Vector và hệ trục tọa độ trong không gian

§1. Vector trong không gian

•  Các khái niệm: vector, vector cùng phương, phép cộng hai vector trong không gian hoàn toàn giống với vector trong mặt phẳng đã học ở lớp 10.  
   Chú ý quy ước: Vector không (\( \vec{0} \): là vector có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau) cùng phương với mọi vector.  
•  Các quy tắc ba điểm (tam giác), quy tắc hình bình hành về cộng 2 vector trong mặt phẳng vẫn còn đúng với vector trong không gian.  

1. Quy tắc tam giác 
   Cho tam giác \( \triangle ABC \) tùy ý, ta có:  

   \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)  
   \( \vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB} \)  

•  Ta có thể áp dụng quy tắc tam giác để phân tích một vector thành tổng của nhiều vector  
   Ví dụ:  
   \( \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CN}. \)  

2. Quy tắc hình bình hành 
   Cho hình bình hành \(ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo, ta có:

      
    \( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = 2\vec{AO} \)  
    \( \vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB} = 2\vec{DO} \)  

page 1

*  Cho tam giác \( \triangle ABC \), gọi \( G \) là trọng tâm của \( \triangle ABC \), ta luôn có:
       •  \( \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \)
*  Gọi \( M \) là một điểm tùy ý trong không gian, ta luôn có:
       •   \( \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MG} \)
           Vì
              \( \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{MG} + \vec{GA}) + (\vec{MG} + \vec{GB}) + (\vec{MG} + \vec{GC})\)
                                                   \( = 3 \vec{MG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})\)
                                                   \( = 3 \vec{MG} + \vec{0}\)
                                                   \( = 3 \vec{MG} \)

      •   \( \vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI} \), với \( I \) là trung điểm của \( AB \)

3. Quy tắc hình hộp
    Cho hình hộp \( ABCD.A_1B_1C_1D_1 \), ta có:

       •   \( \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1} \)
       •   \( \vec{BA} + \vec{BD} + \vec{BC} = \vec{BD_1} \)
       •   \( \vec{CA_1} = \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{CC_1} \)

       •  Gọi \( G \) là trọng tâm của \( \triangle BDA_1 \), ta có:
          \( \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = 3 \vec{AG} \)

        Mặt khác:
          \( \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AG} \)

        Suy ra: \( \vec{AC_1} = 3 \vec{AG} \)

Vậy \( A \), \( G \), \( C_1 \) thẳng hàng

page 2

4. Sự đồng phẳng của các vectơ

Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng khi ba giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  

•   Muốn biết 3 vectơ nào đó có đồng phẳng hay không, nên biểu diễn lại 3 vectơ đó có cùng gốc. Khi đó, 3 vectơ này đồng phẳng khi và chỉ khi 3 giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

•   \( \vec{d} = \vec{OM} = \vec{ON} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} \)

Nói cách khác: Nếu \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) là 3 vectơ không đồng phẳng thì một vectơ bất kỳ đều có thể biểu diễn theo 3 vectơ \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \)  và cách biểu diễn đó là duy nhất.
 

page 3

Đáp án:
a) \( \vec{BC'} \)

• Để biểu diễn \( \vec{BC'} \) theo \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) có thể đi từ \( B \) đến \( C' \) bằng những đoạn thẳng cùng phương với một trong ba vectơ \(     \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \).  
• \( \vec{BC'} = \vec{BA} + \vec{AA'} + \vec{A'C'} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} \).

b) \( \vec{MC'} \) với \( M \) là trung điểm của \( BC \).

• Gọi \( N \) là trung điểm của đoạn \( AB \), Ta có:  

    \( \vec{MC'} = \vec{MN} + \vec{NA} + \vec{AA'} + \vec{A'C'} \)
              \(= \frac{-1}{2} \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} \)
              \(= \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \)

c) \( \vec{NP} \) với \( P \) là trung điểm của \( B'C' \):
    Gợi ý: Gọi \( Q \) là trung điểm của \( A'B' \)  
        \( \vec{NP} = \vec{NQ} + \vec{QP} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c} \)

page 4

5. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 

• Tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian được định nghĩa như tích vô hướng của 2 vectơ trong mặt phẳng.
• Cho \( \vec{a}, \vec{b} \) là 2 vectơ tùy ý. Tích vô hướng của 2 vectơ \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \), ký hiệu \( \vec{a} \, \text{.} \,\vec{b} \), được xác định như sau:
•  \( \vec{a} \, \text{.} \,\vec{b} = |\vec{a}| \, \text{.} \, |\vec{b}| \, \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \) với \( \widehat{\vec{a}, \vec{b}} \) là góc tạo bởi 2 vectơ (\( \vec{a} \) và \( \vec{b}) \)
• \( \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \, \text{.} \, \vec{b} = 0 \)

Đáp án:

•   Ta có:  
\( \vec{AD} .\vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{BD})  (\vec{BD} + \vec{DC}) \)  
                  \( = \vec{AB} . \vec{BD} + \vec{AB} . \vec{DC} + \vec{BD} . \vec{BD} + \vec{BD} . \vec{DC}\)  
(Vì \( AB \perp CD \)) \( \Rightarrow \vec{AB}. \vec{DC} = 0\)
                  \( = \vec{AB} . \vec{BD} + \vec{BD} . \vec{BD} + \vec{BD} . \vec{DC} \)  
                  \( = \vec{BD}  (\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}) = \vec{BD} . \vec{AC} = 0\)  (đpcm)
(Vì \( AC \perp BD \))  

page 5

Tọa độ của điểm và vectơ trong không gian

I. Tọa độ của điểm và vectơ  
  1. Hệ trục tọa độ Descartes

    •   \( Ox \perp Oy \perp Oj \perp Ox\)
    •   \( | \vec{i} | = | \vec{f} | = | \vec{k} | = 1 \)
    •   \( Ox \):  trục hoành
    •   \( Oy \):  trục tung
    •   \( Oj \):  trục cao  
    •   Quy tắc vặn nút chai (hệ tọa độ thuận)

 2.Tọa độ của một điểm trong không gian

•   \(\vec{OM} = \vec{OE} + \vec{OF} + \vec{OK}\) 
              \( = x\vec{i} + y\vec{f} + j\vec{k}\)

    \( M (x; y; j) \)  hay  \( M = (x; y; j) \)

    Lưu ý!  
•   \( ME \perp Ox \), \( MF \perp Oy \), \( MK \perp Oj \)

•   \( M \in \text{mp}(Oxy) \iff _M = 0 \)  
•   \( M \in \text{mp}(Oxj) \iff y_M = 0 \)  
•   \( M \in \text{mp}(Oyj) \iff x_M = 0 \)

Ví dụ: Xác định các điểm \( M(1, 0, 2) \), \( N(0, -2, 1) \), \( Q(0, 0, 3) \), \( P(2, 3, 4) \)
trong không gian \( Oxyj \).

page 6

Đáp án:

a) \( M_1 (1, 2, 0) \)
b) \( M_2 (0, 2, 3) \)  
c) \( M_3 (1, 0, 0) \)  
d) \( M_4 (0, 2, 0) \)  
e) \( M_5 (1, 2, -3) \)  
f) \( M_6 (-1, 2, 3) \)  
g) \( M_7 (1, -2, -3) \)  
h) \( M_8 (-1, -2, 3) \)

page 7

3. Tọa độ của vectơ

• \( \vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k} \iff \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \) hoặc \( \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) \)  
• \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \perp Oz \iff a_3 = 0 \)  
• \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \perp Oy \iff a_2 = 0 \)  

Ví dụ 

• \( \vec{a} = (1, 0, 3) \implies \vec{a} \perp Oy \)  
• \( \vec{b} = (0, 2, 0) \implies \begin{cases} \vec{b} \perp Ox \\ \vec{b} \perp Oz \end{cases} \implies \vec{b} \perp \text{mp} (Oxz) \)  
• \(\implies \vec{b} \parallel Oy \)  

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ  

•   Cho \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \):  

a) \( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)  

b) \( \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) \)  

c) \( \forall k \in \mathbb{R}, \, k \vec{a} = (k a_1, k a_2, k a_3) \)  

d) \( \vec{a} = \vec{b} \iff 
\begin{cases} 
a_1 = b_1 \\ 
a_2 = b_2 \\ 
a_3 = b_3 
\end{cases} \)  

e) \( \vec{a} \parallel \vec{b} \) cùng phương (\vec{b} \neq \vec{0}) \( \iff \exists k \in \mathbb{R}
\):  
                    \( \begin{cases} 
                    a_1 = k b_1 \\ 
                    a_2 = k b_2 \\ 
                    a_3 = k b_3 
\end{cases} \)  

f) \( A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B) \):  

   •  \( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \)  

   •  Trung điểm của \( AB \): \( I \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \)

page 8

g) Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ cho trước.

•   Điểm \( M \) chia đoạn \( AB \) theo tỷ số \( k \Rightarrow \overrightarrow{MA} = k \overrightarrow{MB} \).
\(\Rightarrow x_A - x_M = k (x_B - x_M) \Rightarrow x_A - kx_B = (1-k)x_M\)
\(\Rightarrow x_M = \frac{x_A - kx_B}{1 - k}\)

\(
\begin{cases} 
x_M = \frac{x_A -  kx_B}{1 - k}\\
y_M = \frac{y_A -  k y_B}{1 - k}                                    , \ k \neq 1 \\
z_M = \frac{z_A -  k z_B}{1 - k}
\end{cases}
\)

h) Tọa độ trọng tâm \( G \) của \( \triangle ABC \)

\(
\begin{cases}
x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \\
y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \\
z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}
\end{cases}
\)

page 9