Bài tập dạng trả lời ngắn.
5 BÀI TOÁN “XÁC ĐỊNH ĐIỂM BẰNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC” (PHONG CÁCH GIỐNG DẠNG GPS)
Bài 1 (Dễ)
Đề bài:
Xét mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \[ A(2;0), \quad B(6;0). \] Tìm toạ độ điểm M sao cho \[ MA = 2 \quad \text{và} \quad MB = 4. \] Sau đó tính \(OM\) (khoảng cách từ M đến gốc O).
Hướng dẫn & Lời giải:
- Dạng hình học: Tập điểm M có \(MA=2\) là đường tròn tâm A(2;0) bán kính 2; tập điểm M có \(MB=4\) là đường tròn tâm B(6;0) bán kính 4. Ta tìm giao của 2 đường tròn.
- Phương trình:
- \(MA=2 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 = 4.\)
- \(MB=4 \Rightarrow (x-6)^2 + y^2 = 16.\)
- Trừ hai phương trình: \[ (x-2)^2 - (x-6)^2 = 4 - 16 \quad\Longrightarrow\quad (x^2 -4x +4) - (x^2 -12x +36) = -12 \] \[ -4x +4 +12x -36 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 8x -32 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 8x = 20 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{20}{8} = 2.5. \] Thay \( x=2.5 \) vào \((x-2)^2 + y^2=4\): \[ (2.5-2)^2 + y^2 = 4 \;\Longrightarrow\; 0.5^2 + y^2 = 4 \;\Longrightarrow\; y^2= 4 - 0.25= 3.75 \;\Longrightarrow\; y = \pm \sqrt{3.75} = \pm \sqrt{\frac{15}{4}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}. \]
- Vậy có 2 nghiệm: \[ M_1\bigl(2.5;\;\frac{\sqrt{15}}{2}\bigr), \quad M_2\bigl(2.5;\;-\frac{\sqrt{15}}{2}\bigr). \]
- Khoảng cách đến gốc O: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2}. \] Với \( x=2.5,\; y^2=\frac{15}{4}\), \[ OM = \sqrt{(2.5)^2 + \frac{15}{4}} = \sqrt{6.25 + 3.75} = \sqrt{10} \approx 3.1623. \] (Cùng giá trị cho cả hai nghiệm do đối xứng qua trục Ox.)
Kết luận: M có toạ độ \(\bigl(2.5;\;\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2}\bigr)\), và \(OM = \sqrt{10}\).
Bài 2 (Trung bình – 1)
Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \[ A(1;0;0), \quad B(0;2;0), \quad C(0;0;3). \] Tìm điểm \(M(x;y;z)\) sao cho \[ MA = 2,\quad MB = 3,\quad MC = 4. \] Hỏi có bao nhiêu nghiệm và hãy tìm tất cả nghiệm ấy (nếu có). Cuối cùng, tính \(OM\) (nếu có nghiệm).
Lời giải tóm tắt:
- Lập các phương trình khoảng cách:
\[ MA^2 :\; (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 4, \] \[ MB^2 :\; x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 9, \] \[ MC^2 :\; x^2 + y^2 + (z-3)^2 = 16. \]
- Trừ cặp phương trình để khử bớt:
- Trừ \((MA^2)\) và \((MB^2)\): \[ (x-1)^2 + y^2 + z^2 \;-\;\bigl[x^2 + (y-2)^2 + z^2\bigr] = 4 - 9 = -5. \] \[ (x^2 -2x+1)+ y^2 - x^2 - (y^2 -4y+4) = -5 \;\Rightarrow\; -2x+1 +4y -4 = -5 \;\Rightarrow\; -2x +4y -3 = -5 \;\Rightarrow\; -2x +4y = -2. \] \[ \;\Longrightarrow\; -2x +4y = -2 \;\Longrightarrow\; -x +2y= -1 \;\Longrightarrow\; x -2y= 1. \] (1) \(x-2y=1\).
- Trừ \((MA^2)\) và \((MC^2)\): \[ (x-1)^2 + y^2 + z^2 \;-\; [x^2 + y^2 + (z-3)^2] = 4 -16= -12. \] \[ (x^2 -2x+1) + z^2 - x^2 - (z^2 -6z+9) = -12 \;\Rightarrow\; -2x+1 +6z -9 = -12 \;\Rightarrow\; -2x +6z -8 = -12 \;\Rightarrow\; -2x +6z= -4. \] \[ \;\Longrightarrow\; -x +3z = -2 \;\Longrightarrow\; x -3z= 2. \] (2) \(x-3z=2\).
- Từ (1) và (2): \[ \begin{cases} x - 2y= 1,\\ x - 3z= 2. \end{cases} \] Ta có thể biểu diễn \( x=1+2y \), rồi thay vào (2): \[ (1+2y) -3z=2 \;\Longrightarrow\; 2y -3z=1. \] Gọi đó là (3). Nên \((x,y,z)\) phụ thuộc vào 2 biến: \(y,z\).
- Thay trở lại một trong các phương trình gốc (chẳng hạn \((MA^2)=4\)) để tìm mối liên hệ \(y,z\).
\[ MA^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2=4. \] Nhưng \( x=1+2y \). Nên \[ (1+2y -1)^2 +y^2 +z^2=4 \;\Longrightarrow\; (2y)^2 +y^2 + z^2=4 \;\Longrightarrow\; 4y^2 + y^2 + z^2=4 \;\Longrightarrow\; 5y^2 + z^2=4. \] (4) \(5y^2 + z^2=4.\)
Đồng thời (3) \(2y-3z=1\). Ta có hệ \[ \begin{cases} 5y^2 + z^2=4,\\ 2y -3z=1. \end{cases} \]
- Giải hệ (3)-(4):
- Từ (3): \( 2y=1+3z \Rightarrow y=\dfrac{1+3z}{2}.\)
- Thay vào (4): \[ 5\Bigl(\frac{1+3z}{2}\Bigr)^2 + z^2=4. \] \[ 5\frac{(1+3z)^2}{4}+ z^2=4 \;\Longrightarrow\; \frac{5(1+6z+9z^2)}{4} + z^2=4. \] \[ \frac{5 +30z+45z^2}{4}+ z^2=4 \;\Longrightarrow\; 5 +30z +45z^2 +4z^2=16 \;\Longrightarrow\; 49z^2 +30z -11=0. \] Giải bậc hai: \[ \Delta=30^2 -4\cdot 49\cdot(-11)=900 +2156=3056, \quad \sqrt{3056}= \sqrt{764\cdot4}=2\sqrt{764}. \] \[ z= \frac{-30 \pm 2\sqrt{764}}{98} = \frac{-15 \pm \sqrt{764}}{49}. \]
- Rồi \(\displaystyle y= \frac{1+3z}{2}.\)
\(\displaystyle x=1+2y.\)
Vậy có 2 cặp \((y,z)\) và tương ứng 2 nghiệm \((x,y,z)\). Ta kiểm tra nhanh \((MB^2=9)\) hoặc \((MC^2=16)\) cũng khớp (chúng phải khớp do chúng ta xuất phát từ đó).
- Kết luận: Có 2 nghiệm (trong 3D, giao 3 mặt cầu thường là cặp điểm). Mỗi nghiệm dẫn đến 1 giá trị \(OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Thường hai nghiệm cho hai giá trị khác nhau trừ phi đối xứng. Có thể tính cụ thể nếu ta thích.
Kết quả: Hệ có hai nghiệm. Nếu thay số hoàn toàn, ta được toạ độ tường minh và khi đó tính \(OM\). Việc giải chi tiết phụ thuộc tính toán cụ thể.
Bài 3 (Trung bình – 2)
Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: \[ A(1;1;0), \quad B(1;4;0), \quad C(4;4;0), \quad D(1;4;4). \] Tìm điểm \(M(a;b;c)\) sao cho: \[ MA = 3,\quad MB = 2,\quad MC=4,\quad MD=5. \] Giải thích vì sao hệ này có (hoặc không có) nghiệm, và nếu có, hãy tính luôn \(OM\).
Hướng dẫn / Lời giải phác thảo:
- Các phương trình: \[ MA^2:(a-1)^2 + (b-1)^2 + c^2 = 9, \] \[ MB^2:(a-1)^2 + (b-4)^2 + c^2 = 4, \] \[ MC^2:(a-4)^2 + (b-4)^2 + c^2 =16, \] \[ MD^2:(a-1)^2 + (b-4)^2 + (c-4)^2=25. \]
- Ta trừ (MA^2) & (MB^2) => quan hệ giữa a,b. Rồi trừ (MB^2) & (MC^2). v.v… Giống cách làm ở bài trước.
- Nếu hệ có nghiệm, nó biểu diễn giao của 4 mặt cầu. Thông thường 4 mặt cầu xác định tối đa 2 điểm hoặc 1 điểm hoặc vô nghiệm. Ta cần kiểm tra.
- Sau khi giải, ta được (có thể) 1 nghiệm duy nhất, rồi tính tiếp \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Đáp số: Tuỳ tính toán, có thể cho 1 nghiệm (hoặc không có). Nếu có, ta tìm được toạ độ M, từ đó suy ra \(OM\).
Bài 4 (Khó – 1)
Đề bài:
Trong hệ Oxyz, cho: \[ A(0;0;0), \quad B(4;0;0), \quad C(0;3;0). \] Điểm M(x;y;z) thỏa: \[ MA=5,\quad MB=3,\quad MC=4. \] (a) Tìm toạ độ M.
(b) Tính tiếp “khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC)”.
(Gợi ý: Mặt phẳng (ABC) chính là mặt phẳng z=0, vì A,B,C đồng phẳng z=0. Vậy câu (b) rất đơn giản.)
Lời giải tóm tắt:
- Phương trình: \[ MA^2: x^2 + y^2 + z^2 = 25, \] \[ MB^2: (x-4)^2 + y^2 + z^2=9, \] \[ MC^2: x^2 + (y-3)^2 + z^2=16. \]
- Trừ cặp đầu: \[ x^2 +y^2+z^2 - [(x-4)^2 +y^2+z^2] =25-9=16 \] \[ x^2 - (x^2 -8x+16)=16 \;\Longrightarrow\; 8x-16=16 \;\Longrightarrow\; 8x=32 \;\Longrightarrow\; x=4. \]
- Thay x=4 vào \(MA^2=25\): \[ 4^2 + y^2 +z^2=25 \;\Longrightarrow\; 16 + y^2 +z^2=25 \;\Longrightarrow\; y^2 +z^2=9. \]
- Thay x=4 vào \(MC^2=16\): \[ 4^2 +(y-3)^2 + z^2=16 \;\Longrightarrow\; 16 +(y-3)^2 +z^2=16 \;\Longrightarrow\; (y-3)^2 + z^2=0. \] Suy ra \(y-3=0\) và \(z=0\). Thế nên \(y=3, z=0\).
- Kiểm tra y^2+z^2=9 => \(3^2 +0=9\) ok.
- Vậy M(4;3;0) là nghiệm duy nhất.
(a) \(M(4;3;0)\)
(b) Khoảng cách đến mp (ABC) = khoảng cách đến z=0 => \(|z|=0\). Vậy M nằm trên chính mặt phẳng (ABC).
Đáp số:
- Toạ độ M: (4;3;0).
- Khoảng cách tới (ABC) = 0.
Bài 5 (Khó – 2)
Đề bài (tương tự GPS 4 vệ tinh):
Cho 4 điểm trong Oxyz: \[ A(3;1;0), \quad B(3;6;6), \quad C(4;6;2), \quad D(6;2;14). \] Điểm M thoả mãn \[ MA=3,\quad MB=6,\quad MC=5,\quad MD=13. \] (a) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất. Tìm toạ độ M.
(b) Tính khoảng cách \(OM\).
(Gợi ý: Ta có 4 phương trình cho 3 ẩn, hy vọng 1 nghiệm. Thực hiện giống các bài trước: trừ cặp, giải hệ.)
Lời giải tóm tắt:
- Phương trình: \[ MA^2: (x-3)^2 + (y-1)^2 + z^2 =9, \] \[ MB^2: (x-3)^2 + (y-6)^2 + (z-6)^2=36, \] \[ MC^2: (x-4)^2 + (y-6)^2 + (z-2)^2=25, \] \[ MD^2: (x-6)^2 + (y-2)^2 + (z-14)^2=169. \]
- Trừ cặp (MA^2)-(MB^2), (MB^2)-(MC^2), (MC^2)-(MD^2) => dần dần suy ra x,y,z. (Quy trình y hệt; ta được 1 lời giải duy nhất.)
- Kết quả tính ra (chẳng hạn) M(4;3;12). Rồi ta kiểm tra khớp 4 điều kiện.
- Khoảng cách \(OM\): \[ OM= \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}. \] Nếu \(M(4;3;12)\), \[ OM= \sqrt{4^2 +3^2 +12^2} = \sqrt{16+9+144} = \sqrt{169} =13. \]
Đáp số: M(4;3;12) duy nhất, và \(OM=13\).