Đáp án

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \( d_m \):

• \( \frac{2x^2 - x + 1}{x - 1} = -x + m \Leftrightarrow\begin{cases}x \ne   (bỏ) \\ 2x^2 - x + 1 = (-x + m)(x - 1) \end{cases} \)

\( \Leftrightarrow 3x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 \quad (*) \)

• \( (d_m)\) cắt  \((C)\) tại 2 điểm phân biệt  \(A, B. \)

\( \Leftrightarrow\) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \( x_A, x_B. \)

\( \Leftrightarrow \Delta = (m + 2)^2 - 12(m + 1) > 0 \)

\( \Leftrightarrow \Delta = m^2 - 8m - 8 > 0 
 \Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt{6}\) hay \( m > 4 + 2\sqrt{6} \)
 

• Lúc đó trung điểm \( I \) của \( AB \) có tọa độ

\( \begin{cases}x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{m + 2}{6} \\ y = -x + m \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} m = 6x - 2 \\ y = 5x - 2 \end{cases} \)

\( \left[ \begin{array}{l}
m < 4 - 2\sqrt{6} \\
m > 4 + 2\sqrt{6}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
6x - 2 < 4 - 2\sqrt{6} \\
6x - 2 > 4 + 2\sqrt{6}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x < \frac{6 - 2\sqrt{6}}{6} \\
x > \frac{6 + 2\sqrt{6}}{6}
\end{array}\right. \)

Vậy tập hợp trung điểm \( I \) của \( AB \) là các điểm nằm trên đường thẳng \( y = 5x - 2 \) với \( \left[\begin{array}{I} x < \frac{6 - 2\sqrt{6}}{6} \\ x > \frac{6 + 2\sqrt{6}}{6} \end{array}\right. \)