Đáp án

• \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)

• \( y' = \frac{x^2 + 2x + 2m - 2}{(x + 1)^2} \)

Hàm số có cực đại và cực tiểu 
\(\Leftrightarrow\) Phương trình \( y' = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1,  x_2 \)
\(\Leftrightarrow  \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \ne 0 \end{cases}  \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

Khi đó đường thẳng qua 2 điểm cực trị \( A, B \) của đồ thị có phương trình: \( y = 2x + 2m \)

Ba điểm \( A, B, O \) thẳng hàng khi:

\(\Leftrightarrow\) Điểm \( O(0, 0) \) nằm trên đường thẳng \( y = 2x + 2m \)

\(\Leftrightarrow m = 0\)  (thỏa điều kiện \(m < \frac{3}{2}) \)

Chú ý:
Bạn có thể đi đến đáp số cực nhanh nếu biết phương trình đường thẳng \( d \) qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \( d: y = 2x + 2m \).

Khi đó: \( A, B, O \) thẳng hàng \( \Leftrightarrow O(0,0) \in d \) 
\( \Leftrightarrow m = 0 \)