Đáp án

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi:
\( \Leftrightarrow\) Phương trình \( y' = \frac{x^2 + 2x + 2m - 2}{(x + 1)^2} = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' = 3 - 2m > 0 \\ 2m - 3 \neq 0 
\end{cases}\) ( -1 không phải là nghiệm của tử số)

\( \Leftrightarrow m < \frac{3}{2} \)

•  Khi đó, 2 điểm cực trị của đồ thị là:

\( A(x_1, 2x_1 + 2m) \) và \( B(x_2, 2x_2 + 2m) \)

•  Hai điểm \( A, B \) nằm về 2 phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow  y_A . y_B < 0 \)

\( \Leftrightarrow (2x_1 + 2m)(2x_2 + 2m) < 0 \)

\( \Leftrightarrow 4x_1x_2 + 4m(x_1 + x_2) + 4m^2 < 0 (*) \)

Với \( \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 x_2 = 2m - 2 \end{cases} \)

 (*) \(\Leftrightarrow  4(2m - 2) - 8m + 4m^2 < 0 \)

\( \Leftrightarrow 4m^2 - 4 < 0 \)

\( \Leftrightarrow -1 < m < 1\) thoả mãn để  m < \frac{3}{2}) \)

Vậy: \( -1 < m < 1 \)

Bạn có tin rồi bạn sẽ giải bài này mất không quá 5 giây không?

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \( x^2 + 2mx + 2 = 0 \)  vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta = m^2 - 1 < 0 \Rightarrow -1 < m < 1 \)