Đáp án

Bài tập: Cho \( A(1, 2, -1) \), \( B(2, -1, 3) \), \( C(-4, 7, 5) \). Chân đường phân giác trong của góc \( B \) của \( \triangle ABC \) là điểm \( D \) có tọa độ là:
A. \( D\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, -1 \right) \)                                      
B. \( D\left( -\frac{2}{3}, -\frac{11}{3}, 1 \right) \)                            
C. \( D\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right) \)                                             
D. \( D\left( \frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right) \)  

Đáp án:

•  \(
\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} = \frac{\sqrt{1 + 9 + 16}}{\sqrt{36 + 64 + 4}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}} = \frac{1}{2}
\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DC} = -2 \overrightarrow{DA}\)

\( x_C - x_D = -2(x_A - x_D) \Rightarrow 3x_D = x_C + 2x_A\)

\(\Rightarrow
\begin{cases}
x_D = \frac{x_C + 2x_A}{3} = \frac{-4 + 2}{3} = -\frac{2}{3}\\ 
y_D = \frac{y_C + 2y_A}{3} = \frac{7 + 4}{3} = \frac{11}{3}\\ 
z_D = \frac{z_C + 2z_A}{3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 
\end{cases}
\Rightarrow D\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)\)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn \(\boxed{\text{C}} \)