Bài tập: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số \(y = \frac{2}{3}x^3 - mx^2 + 4mx + 1\) có 2 điểm cực trị \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(|x_1 - x_2| = 3\).
\(A. m = 9 \quad B. m = 1 \quad C. m = -1 \lor m = 9 \quad D. \nexists m\)
Lời giải:
- \(y' = 2x^2 - 2mx + 4m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2\)
\(\iff \Delta' = m^2 - 8m > 0 \Leftrightarrow m > 8 \text{ hoặc } m < 0\)
- \(|x_1 - x_2| = 3 \Leftrightarrow x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2= 9\)
\(\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2= 9\)
\( \Leftrightarrow m^2 - 8m - 9 = 0 \) (thay \(x_1, x_2 \) vào phương trình \(y'=0\) để suy ra \(m = x_1+ x_2\) và \(4m = 2x_1x_2\) )
\(\Leftrightarrow m = -1 \text{ hoặc } m = 9\)
Chọn đáp án \(\boxed{C}\).