Bài tập: Biết rằng hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(m - 1)x^2 - mx + \frac{1}{3}\) có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực tiểu \(y_{\text{min}} = \frac{1}{3}\). Mệnh đề nào sau đây đúng:
\(A. m \in (-2, 0) \quad \quad B. m \in (-1, 1) \quad \\ C. m \in (0, 2) \quad \quad D. m \in (1, 3) \quad\)
Lời giải:
- \(y' = x^2 - (m - 1)x - m = 0 \quad \Rightarrow \left[ \begin{array}{} x = -1 \\ x = m \end{array}\right.\)
- \(y_{\text{min}} = \frac{1}{3} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} -1 < m \text{ và } f(m) = -\frac{1}{6}m^3 - \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \\ m < -1 \text{ và } f(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}m = \frac{1}{3} \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} m > -1 \text{ và } m^3 + 3m^2 = 0\\ m < -1 \text{ và } m = -\frac{1}{3} \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow m = 0\)
Chọn đáp án \(\boxed{B}\).