Lời giải

Bài tập: Chứng minh: Nếu hàm số \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) có đạo hàm tại \( x_0 \) và đạt cực trị tại \( x_0 \) thì giá trị cực trị \( f(x_0) = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \).

Lời giải:

  • \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \)
  • Hàm \( f \) đạt cực trị tại \( x_0 \) và có đạo hàm tại \( x_0 \)

  \(\Rightarrow f'(x_0) = 0 \)
  \(\Rightarrow u'(x_0)v(x_0) - u(x_0)v'(x_0) = 0 \)
  \(\Rightarrow u'(x_0)v(x_0) = u(x_0)v'(x_0) \)
  \(\Rightarrow  \frac{u(x_0)}{v(x_0)}  = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \)
  \(\Rightarrow f(x_0) = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \)