Bài tập: Chứng minh: Nếu hàm số \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) có đạo hàm tại \( x_0 \) và đạt cực trị tại \( x_0 \) thì giá trị cực trị \( f(x_0) = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \).
Lời giải:
- \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} \)
- Hàm \( f \) đạt cực trị tại \( x_0 \) và có đạo hàm tại \( x_0 \)
\(\Rightarrow f'(x_0) = 0 \)
\(\Rightarrow u'(x_0)v(x_0) - u(x_0)v'(x_0) = 0 \)
\(\Rightarrow u'(x_0)v(x_0) = u(x_0)v'(x_0) \)
\(\Rightarrow \frac{u(x_0)}{v(x_0)} = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \)
\(\Rightarrow f(x_0) = \frac{u'(x_0)}{v'(x_0)} \)